数列の和 $2 \cdot 2 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 8 + \dots + 2n(3n-1)$ を求め、与えられた選択肢の中から正しいものを選択します。

1. 問題の内容

数列の和 $2 \cdot 2 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 8 + \dots + 2n(3n-1)$ を求め、与えられた選択肢の中から正しいものを選択します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の一般項を求めます。数列の第$k$項は、$2k(3k-1)$で表されます。したがって、求める和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} 2k(3k-1) = \sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 2k) = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用います。

したがって、

$6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} k = 6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)(2n+1) - n(n+1)$

$= n(n+1)(2n+1 - 1) = n(n+1)(2n) = 2n^2(n+1)$

3. 最終的な答え

したがって、数列の和は $2n^2(n+1)$ となります。

選択肢Bが正しいです。