初項が81、公比が$\frac{1}{3}$、末項が$\frac{1}{3}$である等比数列$\{a_n\}$の和を求めよ。

1. 問題の内容

初項が81、公比が$\frac{1}{3}$、末項が$\frac{1}{3}$である等比数列$\{a_n\}$の和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の一般項を求めます。初項を$a$、公比を$r$とすると、一般項$a_n$は$a_n = ar^{n-1}$で表されます。

この問題では、$a = 81$、$r = \frac{1}{3}$なので、$a_n = 81 \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$となります。

末項が$\frac{1}{3}$であることから、$\frac{1}{3} = 81 \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$が成り立ちます。

これを解いて$n$を求めます。

$\frac{1}{3} = 81 \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

$\frac{1}{3^1} = 3^4 \cdot \frac{1}{3^{n-1}}$

$\frac{1}{3^1} = \frac{3^4}{3^{n-1}}$

$3^{n-1} = 3^4 \cdot 3^1 = 3^5$

よって、$n-1 = 5$なので、$n = 6$となります。

等比数列の和の公式は、$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$です。

この問題では、$a = 81$、$r = \frac{1}{3}$、$n = 6$なので、

$S_6 = \frac{81\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^6\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{81\left(1 - \frac{1}{729}\right)}{\frac{2}{3}} = \frac{81\left(\frac{728}{729}\right)}{\frac{2}{3}}$

$S_6 = 81 \cdot \frac{728}{729} \cdot \frac{3}{2} = \frac{81 \cdot 728 \cdot 3}{729 \cdot 2} = \frac{1 \cdot 728 \cdot 1}{9 \cdot 2} \cdot 3 = \frac{728}{6}= \frac{364}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{364}{3}$