二次関数 $f(x) = 2x^2 + 2ax + 4$ (ただし $-1 \le x \le 1$) について、与えられた $a$ の範囲における最小値または最大値を求める問題です。選択肢の中から適切なものを選びます。

1. 問題の内容

二次関数 $f(x) = 2x^2 + 2ax + 4$ (ただし $-1 \le x \le 1$) について、与えられた $a$ の範囲における最小値または最大値を求める問題です。選択肢の中から適切なものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$f(x) = 2x^2 + 2ax + 4 = 2(x^2 + ax) + 4 = 2(x + \frac{a}{2})^2 - 2(\frac{a}{2})^2 + 4 = 2(x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{2} + 4$

軸は $x = -\frac{a}{2}$ です。定義域は $-1 \le x \le 1$ です。

1

7. $a > 2$ のとき、 $-\frac{a}{2} < -1$ となり、軸は定義域よりも左側にあります。よって、$x=1$ で最小値をとります。

$f(1) = 2(1)^2 + 2a(1) + 4 = 2 + 2a + 4 = 6 + 2a$

したがって、17の答えは $6+2a$ です。選択肢の⑤が当てはまります。

1

8. $a < -2$ のとき、 $-\frac{a}{2} > 1$ となり、軸は定義域よりも右側にあります。よって、$x=-1$ で最小値をとります。

$f(-1) = 2(-1)^2 + 2a(-1) + 4 = 2 - 2a + 4 = 6 - 2a$

したがって、18の答えは $6-2a$ です。選択肢の⑥が当てはまります。

1

9. $-2 < a < 2$ のとき、 $-1 < -\frac{a}{2} < 1$ となり、軸は定義域の中にあります。よって、頂点で最小値をとります。

最小値は $f(-\frac{a}{2}) = -\frac{a^2}{2} + 4 = 4 - \frac{a^2}{2}$

したがって、19の答えは $4-\frac{a^2}{2}$ です。選択肢の④が当てはまります。

2

0. $a>0$ のとき、軸は負の領域にあります。$f(x) = 2x^2 + 2ax + 4$ の $x=1$ での値を考えると、$f(1) = 6 + 2a$.　一方、$x=-1$ での値を考えると、$f(-1) = 6-2a$.　$a > 0$ なので、$6 + 2a > 6 - 2a$. 定義域で軸を跨いでいる場合、端点での値が最大となるので、$x=1$ で最大値を取る可能性があります。軸が $-1 < -\frac{a}{2} < 0$ のときは$x=-1$ で最小になります。$a>0$のときの最大値は$x=1$のときなので$f(1) = 6+2a$. しかし、問題は最大値を求めるものなので、軸が定義域内にある場合のみ考えます。a=0 のとき、軸はx=0となり、頂点で最小値を取ります。$a>0$ となると、軸は左にずれ、x=1で最大値を取ります。よって、最大値はx=1での値$f(1)=6+2a$.

ただし、$f(-1) = 6-2a$ なので、$a$ が大きいと最小値になってしまう。軸が定義域を跨ぐ場合(a>0)、最大値は$x=1$でとる$6+2a$.

問題に選択肢が限られているため、$a>0$ の範囲で、軸が-1より大きい場合(定義域に含まれる)に限定されていると考え、x=-1で$4+\frac{a^2}{2}$をとると考えられます。

しかしながら$a >0$ の範囲なので、$x=-1$ でとることはありません。

問題に誤りがある可能性があります.

3. 最終的な答え

17: ⑤

18: ⑥

19: ④

20: (問題文に誤りがある可能性が高い) ⑤ (ただし、問題の意図と異なる可能性あり)