問題文は、nは自然数、xは実数とする。次の命題の真偽を調べよ。また、その逆・裏・対偶を述べ、それらの真偽を調べる問題です。 (1) nは9の倍数である => nは3の倍数である (2) x ≠ 2 => x^2 - 3x + 2 ≠ 0 (3) x^2 - x = 0 => x = 0 または x = 1

1. 問題の内容

問題文は、nは自然数、xは実数とする。次の命題の真偽を調べよ。また、その逆・裏・対偶を述べ、それらの真偽を調べる問題です。

(1) nは9の倍数である => nは3の倍数である

(2) x ≠ 2 => x^2 - 3x + 2 ≠ 0

(3) x^2 - x = 0 => x = 0 または x = 1

2. 解き方の手順

(1)

元の命題: nは9の倍数である => nは3の倍数である。

真偽: 真。9の倍数は必ず3の倍数なので、これは正しい。

逆: nは3の倍数である => nは9の倍数である。

真偽: 偽。例えば、n=3は3の倍数だが9の倍数ではない。

裏: nは9の倍数でない => nは3の倍数でない。

真偽: 偽。n=3は9の倍数でないが、3の倍数である。

対偶: nは3の倍数でない => nは9の倍数でない。

真偽: 真。元の命題が真なので対偶も真である。

(2)

元の命題: x ≠ 2 => x^2 - 3x + 2 ≠ 0

真偽: 真。$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ であるから、$x = 2$のときのみ、$x^2 - 3x + 2 = 0$となる。

逆: x^2 - 3x + 2 ≠ 0 => x ≠ 2

真偽: 真。$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \ne 0$ ということは、$x \ne 1$ かつ $x \ne 2$なので、$x \ne 2$。

裏: x = 2 => x^2 - 3x + 2 = 0

真偽: 真。$2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$

対偶: x^2 - 3x + 2 = 0 => x = 2

真偽: 偽。$x^2 - 3x + 2 = 0$ は $(x-1)(x-2) = 0$ と同値であり、$x=1$ または $x=2$ を意味する。

(3)

元の命題: x^2 - x = 0 => x = 0 または x = 1

真偽: 真。$x^2 - x = x(x-1) = 0$ より、$x = 0$ または $x = 1$

逆: x = 0 または x = 1 => x^2 - x = 0

真偽: 真。$x = 0$ ならば $x^2 - x = 0^2 - 0 = 0$、$x = 1$ ならば $x^2 - x = 1^2 - 1 = 0$

裏: x ≠ 0 かつ x ≠ 1 => x^2 - x ≠ 0

真偽: 真。

対偶: x^2 - x ≠ 0 => x ≠ 0 かつ x ≠ 1

真偽: 真。

3. 最終的な答え

(1)

元の命題: 真

逆: 偽

裏: 偽

対偶: 真

(2)

元の命題: 真

逆: 真

裏: 真

対偶: 偽

(3)

元の命題: 真

逆: 真

裏: 真

対偶: 真