$x>0$ のとき、$(x+\frac{1}{x})(x+\frac{9}{x})$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x>0$ のとき、$(x+\frac{1}{x})(x+\frac{9}{x})$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$(x+\frac{1}{x})(x+\frac{9}{x}) = x^2 + 9 + 1 + \frac{9}{x^2} = x^2 + \frac{9}{x^2} + 10$

ここで、$x>0$ なので、$x^2>0$ です。相加相乗平均の関係より、

$x^2 + \frac{9}{x^2} \ge 2 \sqrt{x^2 \cdot \frac{9}{x^2}} = 2 \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$

したがって、

$x^2 + \frac{9}{x^2} + 10 \ge 6 + 10 = 16$

等号成立は $x^2 = \frac{9}{x^2}$ のときなので、$x^4 = 9$ より、$x^2 = 3$ ($x>0$ なので) よって、$x = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{3}$ のとき、最小値 $16$ をとる。