複素数 $z$ に対して、以下の2つの問題を解く。 (1) $\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i}$ が実数となるような点 $z$ 全体が描く図形 $P$ を複素数平面上に図示する。 (2) $z$ が (1) で求めた図形 $P$ 上を動くとき、$w = \frac{z+i}{z-i}$ が描く図形を複素数平面上に図示する。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に対して、以下の2つの問題を解く。

(1) $\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i}$ が実数となるような点 $z$ 全体が描く図形 $P$ を複素数平面上に図示する。

(2) $z$ が (1) で求めた図形 $P$ 上を動くとき、$w = \frac{z+i}{z-i}$ が描く図形を複素数平面上に図示する。

2. 解き方の手順

(1) $z = x + yi$ （$x$, $y$ は実数）とおく。

$\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i} = \frac{1}{x + (y+1)i} + \frac{1}{x + (y-1)i}$

$= \frac{x - (y+1)i}{x^2 + (y+1)^2} + \frac{x - (y-1)i}{x^2 + (y-1)^2}$

$= \frac{x}{x^2 + (y+1)^2} + \frac{x}{x^2 + (y-1)^2} - \left( \frac{y+1}{x^2 + (y+1)^2} + \frac{y-1}{x^2 + (y-1)^2} \right)i$

$\frac{1}{z+i} + \frac{1}{z-i}$ が実数となる条件は、虚部が0であることだから、

$\frac{y+1}{x^2 + (y+1)^2} + \frac{y-1}{x^2 + (y-1)^2} = 0$

$(y+1)(x^2 + (y-1)^2) + (y-1)(x^2 + (y+1)^2) = 0$

$(y+1)(x^2 + y^2 - 2y + 1) + (y-1)(x^2 + y^2 + 2y + 1) = 0$

$x^2y + y^3 - 2y^2 + y + x^2 + y^2 - 2y + 1 + x^2y + y^3 + 2y^2 - y - x^2 - y^2 - 2y - 1 = 0$

$2x^2y + 2y^3 - 4y = 0$

$2y(x^2 + y^2 - 2) = 0$

よって、$y = 0$ または $x^2 + y^2 = 2$。

ただし、$z \ne i, -i$ より、$z \ne \pm i$。

$y=0$ のときは、$z=x$ が実数であり、$z \ne \pm i$ を満たす。

$x^2+y^2=2$ のときは、原点中心半径$\sqrt{2}$の円であり、$z \ne \pm i$ を満たす。なぜなら、円上の点は$x^2+y^2=2$を満たし、$y=\pm 1$のとき、$x^2=1$なので、円上の点は$\pm 1 \pm i$。

(2) $w = \frac{z+i}{z-i}$ より、$wz - wi = z + i$。

$wz - z = wi + i$

$z(w-1) = i(w+1)$

$z = i \frac{w+1}{w-1}$

(1)で求めた$z$が$y=0$または$x^2+y^2=2$を満たすとき、$w$の軌跡を求める。

(i) $y=0$のとき、$z$は実数なので、$z = \bar{z}$。

$i \frac{w+1}{w-1} = -i \frac{\bar{w}+1}{\bar{w}-1}$

$\frac{w+1}{w-1} = -\frac{\bar{w}+1}{\bar{w}-1}$

$(w+1)(\bar{w}-1) = -(w-1)(\bar{w}+1)$

$w\bar{w} - w + \bar{w} - 1 = -w\bar{w} - w + \bar{w} + 1$

$2w\bar{w} = 2$

$w\bar{w} = 1$

$|w|^2 = 1$

よって、$|w| = 1$。ただし、$z \ne \pm i$ より、$w \ne 0, \infty$ を満たす。

$w=1$のとき、$z$が定義できない。$w=-1$のとき、$z=0$なので、$y=0$を満たす。よって、$w \ne 1$。

したがって、$|w|=1$ かつ $w \ne 1$。

(ii) $x^2+y^2 = 2$のとき、$z\bar{z}=2$。$z = i \frac{w+1}{w-1}$ を代入する。

$i \frac{w+1}{w-1} (-i) \frac{\bar{w}+1}{\bar{w}-1} = 2$

$\frac{w+1}{w-1} \frac{\bar{w}+1}{\bar{w}-1} = 2$

$(w+1)(\bar{w}+1) = 2(w-1)(\bar{w}-1)$

$w\bar{w} + w + \bar{w} + 1 = 2(w\bar{w} - w - \bar{w} + 1)$

$w\bar{w} + w + \bar{w} + 1 = 2w\bar{w} - 2w - 2\bar{w} + 2$

$0 = w\bar{w} - 3w - 3\bar{w} + 1$

$w\bar{w} - 3w - 3\bar{w} + 9 = 8$

$(w-3)(\bar{w}-3) = 8$

$|w-3|^2 = 8$

$|w-3| = 2\sqrt{2}$

よって、中心3, 半径$2\sqrt{2}$の円となる。

$z \ne \pm i$より、$w$は円全体となる。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $y=0$ (実軸) と、原点中心で半径$\sqrt{2}$の円である。ただし、$z = \pm i$ は除く。

(2) 絶対値が1の円（単位円、ただし1を除く）と、中心が3で半径が$2\sqrt{2}$の円である。