正則行列 $P = (p_1, p_2, p_3)$ が与えられている。行列 $A$ とベクトル $b$ が次のように定義されている： $A = (p_1, p_2, p_3, -2p_1 - 3p_2 + 4p_3)$ $b = -p_1 + p_2 - p_3$ 連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として正しいものを選択する。

1. 問題の内容

正則行列 $P = (p_1, p_2, p_3)$ が与えられている。行列 $A$ とベクトル $b$ が次のように定義されている：

$A = (p_1, p_2, p_3, -2p_1 - 3p_2 + 4p_3)$

$b = -p_1 + p_2 - p_3$

連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として正しいものを選択する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ を4次元ベクトル $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ とすると、$Ax = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 (-2p_1 - 3p_2 + 4p_3) = (x_1 - 2x_4) p_1 + (x_2 - 3x_4) p_2 + (x_3 + 4x_4) p_3$ となる。

$Ax = b$ より、

$(x_1 - 2x_4) p_1 + (x_2 - 3x_4) p_2 + (x_3 + 4x_4) p_3 = -p_1 + p_2 - p_3$

$p_1, p_2, p_3$ は線形独立なので、

$x_1 - 2x_4 = -1$

$x_2 - 3x_4 = 1$

$x_3 + 4x_4 = -1$

これらの式から、$x_1 = 2x_4 - 1, x_2 = 3x_4 + 1, x_3 = -4x_4 - 1$ となる。$x_4 = p$ とおくと、解は

$x = \begin{pmatrix} 2p - 1 \\ 3p + 1 \\ -4p - 1 \\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、$x$ は$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$という形になる必要がある。

行列$A$の4つの列ベクトルをそれぞれ$a_1, a_2, a_3, a_4$とすると、$a_1=p_1, a_2=p_2, a_3=p_3, a_4=-2p_1-3p_2+4p_3$となる。

$Ax=b$を解くとき、$x=x_0+x_h$と分解して、特殊解$x_0$と斉次解$x_h$を求めることを考える。

$A x = -p_1 + p_2 - p_3$

$x = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$とすると、

$A x = (-1) p_1 + (1) p_2 + (-1) p_3 + 0 (-2p_1 - 3p_2 + 4p_3) = -p_1 + p_2 - p_3 = b$

よって、$x_0 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$は特殊解である。

$A x = 0$を考える。$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$とする。

$A x = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 (-2p_1 - 3p_2 + 4p_3) = (x_1 - 2x_4) p_1 + (x_2 - 3x_4) p_2 + (x_3 + 4x_4) p_3 = 0$

$p_1, p_2, p_3$は線形独立なので、

$x_1 - 2x_4 = 0$

$x_2 - 3x_4 = 0$

$x_3 + 4x_4 = 0$

$x_1 = 2x_4, x_2 = 3x_4, x_3 = -4x_4$となる。$x_4 = p$とすると、

$x = \begin{pmatrix} 2p \\ 3p \\ -4p \\ p \end{pmatrix} = p \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$

よって、斉次解は$x_h = p \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$となる。

一般解は$x = x_0 + x_h = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、正しい解は4番目の選択肢である。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}, p \in \mathbb{R}$