2次不等式 $2x^2 + 5x + 1 \le 0$ を解きます。

1. 問題の内容

2次不等式 $2x^2 + 5x + 1 \le 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $2x^2 + 5x + 1 = 0$ の解を求めます。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用います。

この場合、$a = 2$, $b = 5$, $c = 1$ なので、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4}$

したがって、2次方程式の解は $x = \frac{-5 - \sqrt{17}}{4}$ と $x = \frac{-5 + \sqrt{17}}{4}$ です。

次に、2次不等式 $2x^2 + 5x + 1 \le 0$ の解を求めます。

2次関数のグラフ $y = 2x^2 + 5x + 1$ は下に凸な放物線であり、x軸との交点が $x = \frac{-5 - \sqrt{17}}{4}$ と $x = \frac{-5 + \sqrt{17}}{4}$ です。

$2x^2 + 5x + 1 \le 0$ となるのは、放物線がx軸よりも下にあるか、x軸上にあるときなので、解は $\frac{-5 - \sqrt{17}}{4} \le x \le \frac{-5 + \sqrt{17}}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{-5 - \sqrt{17}}{4} \le x \le \frac{-5 + \sqrt{17}}{4}$