与えられた数式の計算結果を確認する問題です。数式は、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+5) = 8 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 5 = 8 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n-1)n + 5(n-1) = n^2 + 4n + 3$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の計算結果を確認する問題です。数式は、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+5) = 8 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 5 = 8 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n-1)n + 5(n-1) = n^2 + 4n + 3$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を順番に計算していきます。

ステップ1: $\sum_{k=1}^{n-1} (2k+5)$ を計算するために、$\sum_{k=1}^{n-1} k$ と $\sum_{k=1}^{n-1} 5$ をそれぞれ計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{1}{2}(n-1)n$

$\sum_{k=1}^{n-1} 5 = 5(n-1)$

ステップ2: $a_n$ の式に代入して計算します。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+5) = 8 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n-1)n + 5(n-1)$

$a_n = 8 + (n-1)n + 5(n-1) = 8 + n^2 - n + 5n - 5$

$a_n = n^2 + 4n + 3$

ステップ3: $n^2+4n+3$ を因数分解することもできます。

$n^2+4n+3 = (n+1)(n+3)$

3. 最終的な答え

$n^2 + 4n + 3$