与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には以下の4つの数列について一般項を求める必要があります。 (1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 5$ (2) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n$ (3) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = -5a_n$ (4) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 1$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には以下の4つの数列について一般項を求める必要があります。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 5$

(2) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n$

(3) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = -5a_n$

(4) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 1$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = a_n + 5$ は等差数列の漸化式です。初項 $a_1 = 2$、公差 $5$ なので、一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)5 = 2 + 5n - 5 = 5n - 3$

アには5が入ります。

(2) $a_{n+1} = 2a_n$ は等比数列の漸化式です。初項 $a_1 = 3$、公比 $2$ なので、一般項は

$a_n = a_1 r^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$

イには2が入ります。

(3) $a_{n+1} = -5a_n$ も等比数列の漸化式です。初項 $a_1 = 5$、公比 $-5$ なので、一般項は

$a_n = a_1 r^{n-1} = 5 \cdot (-5)^{n-1}$

ウには $n-1$ が入ります。

(4) $a_{n+1} = 3a_n - 1$ は $a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha)$ の形に変形できる可能性があります。

$a_{n+1} = 3a_n - 1$ を変形すると、$\alpha = 3\alpha - 1$ より、$\alpha = \frac{1}{2}$。

$a_{n+1} - \frac{1}{2} = 3(a_n - \frac{1}{2})$

数列 $b_n = a_n - \frac{1}{2}$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、これは等比数列です。

初項は $b_1 = a_1 - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$、公比は $3$ なので、

$b_n = \frac{3}{2} \cdot 3^{n-1} = \frac{1}{2} \cdot 3^n$

したがって、$a_n = b_n + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 3^n + \frac{1}{2} = \frac{3^n + 1}{2}$

エには3が、オには2が入ります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5n - 3$

(2) $a_n = 3 \times 2^{n-1}$

(3) $a_n = 5 \times (-5)^{n-1}$

(4) $a_n = \frac{3^n + 1}{2}$