行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -1 & 5 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ と $Q = \begin{pmatrix} 5 & -5 & 5 \\ 4 & -7 & 0 \\ 3 & -1 & 7 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、行列式 $|PQ|$ の値を求める。

1. 問題の内容

行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -1 & 5 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ と $Q = \begin{pmatrix} 5 & -5 & 5 \\ 4 & -7 & 0 \\ 3 & -1 & 7 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、行列式 $|PQ|$ の値を求める。

2. 解き方の手順

行列式には $|AB|=|A||B|$ という性質があるので、まず $|P|$ と $|Q|$ をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせることで $|PQ|$ を求める。

まず、$|P|$ を計算する。3列目の要素が 0, 3, 0 なので、3列目で余因子展開すると計算が楽になる。

$|P| = 0 \cdot C_{13} + 3 \cdot C_{23} + 0 \cdot C_{33} = 3 \cdot C_{23}$

ここで、$C_{23}$ は (2,3) 要素の余因子であり、

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1 \cdot 2 - (-2) \cdot 4) = -(2 + 8) = -10$

したがって、

$|P| = 3 \cdot (-10) = -30$

次に、$|Q|$ を計算する。2列目で余因子展開する。

$|Q| = -(-5) \cdot C_{12} + (-7) \cdot C_{22} - 1 \cdot C_{32} = 5 \cdot C_{12} - 7 \cdot C_{22} - C_{32}$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = -1 \cdot (4 \cdot 7 - 0 \cdot 3) = -28$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 5 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot 7 - 5 \cdot 3) = 35 - 15 = 20$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 5 & 5 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (5 \cdot 0 - 5 \cdot 4) = -(-20) = 20$

したがって、

$|Q| = 5 \cdot (-28) - 7 \cdot 20 - 20 = -140 - 140 - 20 = -300$

最後に、$|PQ| = |P||Q|$ を計算する。

$|PQ| = (-30) \cdot (-300) = 9000$

3. 最終的な答え

$|PQ| = 9000$