放物線 $y = x^2 - 3x - a^2 + a - 2$ が与えられています。 (1) $a = 0$ のとき、放物線と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を求めます。 (2) 放物線と $x$ 軸との異なる2つの共有点を A, B とします。線分 AB の長さを $a$ を用いて表し、$0 \le a \le 2$ の範囲で変化するときの長さの最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x - a^2 + a - 2$ が与えられています。

(1) $a = 0$ のとき、放物線と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を求めます。

(2) 放物線と $x$ 軸との異なる2つの共有点を A, B とします。線分 AB の長さを $a$ を用いて表し、$0 \le a \le 2$ の範囲で変化するときの長さの最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a = 0$ のとき、放物線の式は $y = x^2 - 3x - 2$ となります。

放物線と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標は、$y = 0$ となる $x$ の値なので、$x^2 - 3x - 2 = 0$ を解きます。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いると、$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ となります。

(2) 放物線 $y = x^2 - 3x - a^2 + a - 2$ と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標は、$x^2 - 3x - a^2 + a - 2 = 0$ の解です。

この解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より $\alpha + \beta = 3$ であり、線分 AB の長さ $l = |\alpha - \beta|$ は、$l = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta}$ で与えられます。

$\alpha\beta = -a^2 + a - 2$ なので、$l = \sqrt{3^2 - 4(-a^2 + a - 2)} = \sqrt{9 + 4a^2 - 4a + 8} = \sqrt{4a^2 - 4a + 17}$ となります。

$0 \le a \le 2$ の範囲で $l$ の最大値と最小値を求めます。

$f(a) = 4a^2 - 4a + 17$ とおくと、$f(a) = 4(a - \frac{1}{2})^2 - 1 + 17 = 4(a - \frac{1}{2})^2 + 16$ となります。

$0 \le a \le 2$ において、$a = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $f(\frac{1}{2}) = 16$ をとり、$a = 2$ のとき最大値 $f(2) = 4(2 - \frac{1}{2})^2 + 16 = 4(\frac{3}{2})^2 + 16 = 4 \cdot \frac{9}{4} + 16 = 9 + 16 = 25$ をとります。

したがって、$\sqrt{f(a)}$ は、$a = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\sqrt{16} = 4$ をとり、$a = 2$ のとき最大値 $\sqrt{25} = 5$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) 共有点の $x$ 座標は $\frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ です。

(2) 線分 AB の長さは $l = \sqrt{4a^2 - 4a + 17}$ です。

$l$ の最大値は 5, 最小値は 4 です。