(5) 初項 $a_1 = 1$ で、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n + 3$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項を $a_n = n^2 + \boxed{カ} n - \boxed{キ}$ の形で表す問題です。 (6) 初項 $a_1 = 3$ で、漸化式 $a_{n+1} = -3a_n + 4$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項を $a_n = \boxed{ク} \cdot (\boxed{ケ})^{n-1} + \boxed{コ}$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

(5) 初項 $a_1 = 1$ で、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n + 3$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項を $a_n = n^2 + \boxed{カ} n - \boxed{キ}$ の形で表す問題です。

(6) 初項 $a_1 = 3$ で、漸化式 $a_{n+1} = -3a_n + 4$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項を $a_n = \boxed{ク} \cdot (\boxed{ケ})^{n-1} + \boxed{コ}$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

(5)

まず、漸化式から階差数列を求めます。

$a_{n+1} - a_n = 2n + 3$

したがって、数列 $\{a_n\}$ の階差数列は $2n+3$ です。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+3) = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + 3\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1) = 1 + n^2 - n + 3n - 3 = n^2 + 2n - 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 + 2(1) - 2 = 1$ となり、$a_1 = 1$ を満たします。

したがって、$a_n = n^2 + 2n - 2$

(6)

漸化式 $a_{n+1} = -3a_n + 4$ を変形します。

$a_{n+1} - \alpha = -3(a_n - \alpha)$

$a_{n+1} = -3a_n + 4\alpha$

$4\alpha = 4$ より、$\alpha = 1$

$a_{n+1} - 1 = -3(a_n - 1)$

$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = -3b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 - 1 = 3 - 1 = 2$、公比 $-3$ の等比数列です。

したがって、$b_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

$a_n = b_n + 1 = 2 \cdot (-3)^{n-1} + 1$

3. 最終的な答え

(5)

カ: 2

キ: 2

$a_n = n^2 + 2n - 2$

(6)

ク: 2

ケ: -3

コ: 1

$a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1} + 1$