自然数全体を全体集合$U$とし、$U$の部分集合$P, Q$を以下のように定義します。 $P = \{n \mid n \text{は12で割り切れる自然数}\}$ $Q = \{n \mid n \text{は15で割り切れる自然数}\}$ 次の条件を満たす自然数全体の集合を$P, Q$を用いて表します。 (1) 3でも4でも割り切れる (2) 60で割り切れる (3) 15で割り切れるが、4では割り切れない

1. 問題の内容

自然数全体を全体集合$U$とし、$U$の部分集合$P, Q$を以下のように定義します。

$P = \{n \mid n \text{は12で割り切れる自然数}\}$

$Q = \{n \mid n \text{は15で割り切れる自然数}\}$

次の条件を満たす自然数全体の集合を$P, Q$を用いて表します。

(1) 3でも4でも割り切れる

(2) 60で割り切れる

(3) 15で割り切れるが、4では割り切れない

2. 解き方の手順

(1) 3でも4でも割り切れるということは、12で割り切れることと同値です。なぜなら、3と4の最小公倍数は12だからです。したがって、この条件を満たす自然数全体の集合は、$P$となります。

(2) 60で割り切れるということは、12でも15でも割り切れることと同値です。なぜなら、60は12と15の公倍数だからです。したがって、この条件を満たす自然数全体の集合は、$P$と$Q$の共通部分である$P \cap Q$となります。

(3) 15で割り切れるが、4では割り切れないということは、集合$Q$に属するが、集合$P$に属さないということです。$P$は12で割り切れる数全体の集合なので、4でも割り切れる数しか含まれません。よって、15で割り切れるが4で割り切れない自然数全体の集合は、$Q$から$P \cap Q$を除いたもの、つまり$Q \setminus P$です。これは$Q - (P \cap Q)$ とも書けます。あるいは、$P^c$を$P$の補集合として、$Q \cap P^c$と書くこともできます。

3. 最終的な答え

(1) $P$

(2) $P \cap Q$

(3) $Q \setminus P$ ($Q - (P \cap Q)$ または $Q \cap P^c$)