与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 2 & 3 & -2 & 1 \\ 2 & 5 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ x & y & z & 1 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

2 & 3 & -2 & 1 \\

2 & 5 & -1 & 1 \\

1 & 2 & 0 & 1 \\

x & y & z & 1

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、余因子展開を利用します。ここでは第4列について展開します。

$\begin{vmatrix}

2 & 3 & -2 & 1 \\

2 & 5 & -1 & 1 \\

1 & 2 & 0 & 1 \\

x & y & z & 1

\end{vmatrix}

= 1 \cdot C_{14} + 1 \cdot C_{24} + 1 \cdot C_{34} + 1 \cdot C_{44}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分に関する余因子です。

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ x & y & z \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ x & y & z \end{vmatrix} = -[2(2z - 0) - 5(z - 0) + (-1)(y - 2x)] = -[4z - 5z - y + 2x] = z + y - 2x$

$C_{24} = (-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 2(2z - 0) - 3(z - 0) + (-2)(y - 2x) = 4z - 3z - 2y + 4x = z - 2y + 4x$

$C_{34} = (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 2 & 5 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 2 & 5 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = -[2(5z - (-1)y) - 3(2z - (-1)x) + (-2)(2y - 5x)] = -[10z + 2y - 6z - 3x - 4y + 10x] = -[4z - 2y + 7x] = -4z + 2y - 7x$

$C_{44} = (-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 2 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -2 \\ 2 & 5 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 2(0 - (-2)) - 3(0 - (-1)) + (-2)(4 - 5) = 4 - 3 + 2 = 3$

したがって、行列式は

$(z + y - 2x) + (z - 2y + 4x) + (-4z + 2y - 7x) + 3 = -2z + y - 5x + 3$

3. 最終的な答え

$-5x + y - 2z + 3$