次の2次不等式を解きます。 $\frac{1}{2}x^2 + 2x - 6 \geq 0$

1. 問題の内容

次の2次不等式を解きます。

$\frac{1}{2}x^2 + 2x - 6 \geq 0$

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に2をかけます。

$x^2 + 4x - 12 \geq 0$

次に、2次式を因数分解します。

$(x+6)(x-2) \geq 0$

不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

$x+6=0$ となるのは $x = -6$ のときです。

$x-2=0$ となるのは $x = 2$ のときです。

数直線を考え、$x<-6$, $-6<x<2$, $x>2$ の3つの範囲で $(x+6)(x-2)$ の符号を調べます。

- $x < -6$ のとき、$x+6 < 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、$(x+6)(x-2) > 0$ となります。

- $-6 < x < 2$ のとき、$x+6 > 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、$(x+6)(x-2) < 0$ となります。

- $x > 2$ のとき、$x+6 > 0$ かつ $x-2 > 0$ なので、$(x+6)(x-2) > 0$ となります。

$x=-6$と$x=2$のとき、$(x+6)(x-2)=0$となります。

したがって、不等式 $(x+6)(x-2) \geq 0$ を満たすのは、$x \leq -6$ または $x \geq 2$ のときです。

3. 最終的な答え

$x \leq -6$ または $x \geq 2$