与えられた8つの2次不等式をそれぞれ解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた8つの2次不等式をそれぞれ解く問題です。

2. 解き方の手順

各2次不等式について、以下の手順で解きます。

(1) 不等式を整理して、$ax^2 + bx + c > 0$ または $ax^2 + bx + c < 0$ の形にする。

(2) 対応する2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を求める。判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算する。

(3) $D > 0$ の場合、2つの実数解 $\alpha, \beta$ を持つ（$\alpha < \beta$とする）。$D = 0$ の場合、1つの実数解（重解）$\alpha$ を持つ。$D < 0$ の場合、実数解を持たない。

(4) 解の種類に応じて、不等式の解を求める。

* $a > 0$ の場合、$ax^2 + bx + c > 0$ の解は $x < \alpha$ または $x > \beta$、$ax^2 + bx + c < 0$ の解は $\alpha < x < \beta$。

* $a < 0$ の場合、$ax^2 + bx + c > 0$ の解は $\alpha < x < \beta$、$ax^2 + bx + c < 0$ の解は $x < \alpha$ または $x > \beta$。

(5) 解に等号が含まれる場合は、解に $\alpha$ と $\beta$ を含める。

それぞれの不等式について解いていきます。

(1) $x^2 + 4x + 3 \ge 0$

$x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3) = 0$ より $x = -1, -3$。

したがって、$x \le -3$ または $x \ge -1$。

(2) $x^2 - 2x - 1 < 0$

$x^2 - 2x - 1 = 0$ の解は、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$。

したがって、$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$。

(3) $x^2 - 6x + 9 > 0$

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 > 0$ より、$x \ne 3$。

したがって、$x < 3$ または $x > 3$。

(4) $4x^2 - 12x + 9 < 0$

$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 < 0$。しかし、実数の2乗は常に0以上なので、解なし。

(5) $-x^2 + x - \frac{1}{4} \le 0$

$x^2 - x + \frac{1}{4} \ge 0$。

$x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$ なので、すべての実数 $x$。

(6) $\frac{1}{2}x^2 - 4x + 8 \le 0$

$x^2 - 8x + 16 \le 0$。

$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 \le 0$ より、$x = 4$。

(7) $-4x^2 + 6x - 3 < 0$

$4x^2 - 6x + 3 > 0$。

判別式 $D = (-6)^2 - 4(4)(3) = 36 - 48 = -12 < 0$ より、常に $4x^2 - 6x + 3 > 0$。

したがって、すべての実数 $x$。

(8) $2x^2 - 4x + 3 \le 0$

判別式 $D = (-4)^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8 < 0$ より、常に $2x^2 - 4x + 3 > 0$。したがって、解なし。

3. 最終的な答え

(1) $x \le -3$ または $x \ge -1$

(2) $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$

(3) $x < 3$ または $x > 3$

(4) 解なし

(5) すべての実数

(6) $x = 4$

(7) すべての実数

(8) 解なし