n変数の多項式 $\Delta(x_1, \dots, x_n)$ が、$\Delta(x_1, \dots, x_n) = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_i - x_j)$ で定義される。ここで、$\sigma \in S_n$ が互換（つまり2つの変数を入れ替える操作）であるとき、$\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = - \Delta(x_1, \dots, x_n)$ であることを示す。

1. 問題の内容

n変数の多項式 $\Delta(x_1, \dots, x_n)$ が、$\Delta(x_1, \dots, x_n) = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_i - x_j)$ で定義される。ここで、$\sigma \in S_n$ が互換（つまり2つの変数を入れ替える操作）であるとき、$\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = - \Delta(x_1, \dots, x_n)$ であることを示す。

2. 解き方の手順

$\sigma$ は互換であるから、ある $k, l$ ($1 \le k < l \le n$) が存在して、$\sigma(x_k) = x_l$ かつ $\sigma(x_l) = x_k$ であり、それ以外の変数 $x_i$ ($i \ne k, l$) に対しては $\sigma(x_i) = x_i$ である。

$\Delta(x_1, \dots, x_n) = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_i - x_j)$ に $\sigma$ を作用させると、

$\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = \prod_{1 \le i < j \le n} (\sigma(x_i) - \sigma(x_j))$

積に現れる因子 $(x_k - x_l)$ が、$\sigma$ によって $(x_l - x_k) = -(x_k - x_l)$ に変化する。

それ以外の因子 $(x_i - x_j)$ については、

* $i, j \ne k, l$ のときは $\sigma(x_i) - \sigma(x_j) = x_i - x_j$

* $i=k, j \ne l$ のときは $\sigma(x_k) - \sigma(x_j) = x_l - x_j$ （ただし、$j < k$ なら $\sigma(x_j) - \sigma(x_k) = x_j - x_l$ と符号反転が起きる）

* $i=l, j \ne k$ のときは $\sigma(x_l) - \sigma(x_j) = x_k - x_j$ （ただし、$j < l$ なら $\sigma(x_j) - \sigma(x_l) = x_j - x_k$ と符号反転が起きる）

つまり、$\Delta(x_1, \dots, x_n)$ の積の因子の中で、$x_k$ と $x_l$ が関係する因子について、それらの変数が入れ替わることになる。

ここで、$\Delta(x_1, \dots, x_n)$ のすべての因子を積の順序を入れ替えても変わらないことを利用すると、

$\sigma$ を作用させることは、ある一つの因子 $(x_k - x_l)$ を $(x_l - x_k) = -(x_k - x_l)$ に置き換えることに等しい。

したがって、

$\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = - \Delta(x_1, \dots, x_n)$

3. 最終的な答え

$\sigma \Delta(x_1, \dots, x_n) = - \Delta(x_1, \dots, x_n)$