ある中学校の吹奏楽部には、1年生から3年生までの生徒が合わせて43人所属しています。1年生は3年生の1.5倍であり、2年生は1年生より少なく3年生より多いとき、2年生の人数を求めます。

1. 問題の内容

ある中学校の吹奏楽部には、1年生から3年生までの生徒が合わせて43人所属しています。1年生は3年生の1.5倍であり、2年生は1年生より少なく3年生より多いとき、2年生の人数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、各学年の人数をそれぞれ $x, y, z$ とします。

問題文より、以下の3つの式を立てることができます。

* $x + y + z = 43$ (1年生、2年生、3年生の合計人数)

* $x = 1.5z$ (1年生は3年生の1.5倍)

* $z < y < x$ (2年生は1年生より少なく3年生より多い)

$x = 1.5z$ を $x + y + z = 43$ に代入すると、

$1.5z + y + z = 43$

$2.5z + y = 43$

$y = 43 - 2.5z$

$z < y < x$ より、$z < 43 - 2.5z < 1.5z$ が成り立ちます。

まず、$z < 43 - 2.5z$ について考えます。

$3.5z < 43$

$z < \frac{43}{3.5} = \frac{86}{7} \approx 12.29$

次に、$43 - 2.5z < 1.5z$ について考えます。

$43 < 4z$

$z > \frac{43}{4} = 10.75$

したがって、$10.75 < z < 12.29$ となります。

$z$ は人数なので整数である必要があります。したがって、$z = 11$ または $z = 12$ です。

(i) $z = 11$ のとき、

$x = 1.5z = 1.5 \times 11 = 16.5$ となり、人数が整数でないので不適です。

(ii) $z = 12$ のとき、

$x = 1.5z = 1.5 \times 12 = 18$

$y = 43 - 2.5z = 43 - 2.5 \times 12 = 43 - 30 = 13$

このとき、$z < y < x$ つまり $12 < 13 < 18$ を満たします。

3. 最終的な答え

2年生の人数は 13 人です。