与えられた6つの行列の積を計算します。

1. 問題の内容

与えられた6つの行列の積を計算します。

2. 解き方の手順

各問題について、行列の積の定義に従い、計算を行います。行列 $A$ と $B$ の積 $AB$ の $(i,j)$ 成分は、$A$ の第 $i$ 行と $B$ の第 $j$ 列の内積で与えられます。

(1)

$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + 1 \cdot 2 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 5 \\ 4 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 & 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9+2 & 3+5 \\ 12-4 & 4-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 8 \\ 8 & -6 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 \\ -1 \cdot (-2) + 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6+4 \\ 2+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 10 \end{pmatrix}$

(3)

$\begin{pmatrix} 5 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \end{pmatrix}$

(4)

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 5 & 1 \cdot 3 + 1 \cdot 0 \\ 5 \cdot 2 + 0 \cdot 0 & 5 \cdot 1 + 0 \cdot 5 & 5 \cdot 3 + 0 \cdot 0 \\ 1 \cdot 2 + 4 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 4 \cdot 5 & 1 \cdot 3 + 4 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0 & 1+5 & 3+0 \\ 10+0 & 5+0 & 15+0 \\ 2+0 & 1+20 & 3+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 3 \\ 10 & 5 & 15 \\ 2 & 21 & 3 \end{pmatrix}$

(5)

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5 + 3 \cdot 1 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 4 \\ 0 \cdot 1 + 5 \cdot 5 + 0 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 0 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+5+3 & 2+0+12 \\ 0+25+0 & 0+0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 14 \\ 25 & 0 \end{pmatrix}$

(6)

$\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 4 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 5 \\ -2 \cdot 4 & -2 \cdot 0 & -2 \cdot 5 \\ 1 \cdot 4 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 0 & 15 \\ -8 & 0 & -10 \\ 4 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 11 & 8 \\ 8 & -6 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} -2 \\ 10 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 7 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 2 & 6 & 3 \\ 10 & 5 & 15 \\ 2 & 21 & 3 \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} 10 & 14 \\ 25 & 0 \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} 12 & 0 & 15 \\ -8 & 0 & -10 \\ 4 & 0 & 5 \end{pmatrix}$