与えられた4x4行列式 $|B|$ を因数分解せよ。 $|B| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & x \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ x & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列式 $|B|$ を因数分解せよ。

$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & x \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ x & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列式の性質を利用して計算を簡単にする。

第1列に第2列、第3列、第4列を加える。

$|B| = \begin{vmatrix} 3+x & 1 & 1 & x \\ 3+x & 1 & x & 1 \\ 3+x & x & 1 & 1 \\ 3+x & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

第1列から $(3+x)$ をくくり出す。

$|B| = (3+x)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & x \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

第2行から第1行を、第3行から第1行を、第4行から第1行を引く。

$|B| = (3+x)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & x \\ 0 & 0 & x-1 & 1-x \\ 0 & x-1 & 0 & 1-x \\ 0 & 0 & 0 & 1-x \end{vmatrix}$

第1列に沿って余因子展開を行う。

$|B| = (3+x) \begin{vmatrix} 0 & x-1 & 1-x \\ x-1 & 0 & 1-x \\ 0 & 0 & 1-x \end{vmatrix}$

第3行に沿って余因子展開を行う。

$|B| = (3+x)(1-x) \begin{vmatrix} 0 & x-1 \\ x-1 & 0 \end{vmatrix}$

2x2行列式を計算する。

$|B| = (3+x)(1-x)(0 - (x-1)^2)$

$|B| = (3+x)(1-x)(-(x-1)^2)$

$|B| = -(3+x)(1-x)(x-1)^2$

$|B| = -(3+x)(1-x)(x-1)(x-1)$

$|B| = (3+x)(x-1)^3$

3. 最終的な答え

$(x-1)^3(x+3)$