与えられた計算問題を解きます。問題は以下の通りです。 (1) $3^{-\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{5}{3}}$ (2) $4^{\frac{5}{6}} \div 4^{\frac{1}{3}}$ (3) $(5^{\frac{4}{3}})^{\frac{9}{4}}$ (4) $2^{\frac{5}{6}} \div 2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{5}{2}}$ (5) $\sqrt{7} \times \sqrt[3]{7} \times \sqrt[6]{7}$ (6) $\sqrt[3]{5^2} \times \sqrt{5^3} \div \sqrt[6]{5}$

1. 問題の内容

与えられた計算問題を解きます。問題は以下の通りです。

(1) $3^{-\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{5}{3}}$

(2) $4^{\frac{5}{6}} \div 4^{\frac{1}{3}}$

(3) $(5^{\frac{4}{3}})^{\frac{9}{4}}$

(4) $2^{\frac{5}{6}} \div 2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{5}{2}}$

(5) $\sqrt{7} \times \sqrt[3]{7} \times \sqrt[6]{7}$

(6) $\sqrt[3]{5^2} \times \sqrt{5^3} \div \sqrt[6]{5}$

2. 解き方の手順

(1) 指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を利用します。

$3^{-\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{5}{3}} = 3^{-\frac{2}{3}+\frac{5}{3}} = 3^{\frac{3}{3}} = 3^1 = 3$

(2) 指数法則 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を利用します。

$4^{\frac{5}{6}} \div 4^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{5}{6}-\frac{1}{3}} = 4^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}} = 4^{\frac{3}{6}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$

(3) 指数法則 $(a^m)^n = a^{mn}$ を利用します。

$(5^{\frac{4}{3}})^{\frac{9}{4}} = 5^{\frac{4}{3} \times \frac{9}{4}} = 5^{\frac{36}{12}} = 5^3 = 125$

(4) 指数法則 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ および $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を利用します。

$2^{\frac{5}{6}} \div 2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{5}{2}} = 2^{\frac{5}{6} - \frac{1}{3} + \frac{5}{2}} = 2^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6} + \frac{15}{6}} = 2^{\frac{18}{6}} = 2^3 = 8$

(5) $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$を利用し指数に変換し指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を利用します。

$\sqrt{7} \times \sqrt[3]{7} \times \sqrt[6]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \times 7^{\frac{1}{3}} \times 7^{\frac{1}{6}} = 7^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}} = 7^{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}} = 7^{\frac{6}{6}} = 7^1 = 7$

(6) $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$を利用し指数に変換し指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ および $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を利用します。

$\sqrt[3]{5^2} \times \sqrt{5^3} \div \sqrt[6]{5} = 5^{\frac{2}{3}} \times 5^{\frac{3}{2}} \div 5^{\frac{1}{6}} = 5^{\frac{2}{3} + \frac{3}{2} - \frac{1}{6}} = 5^{\frac{4}{6} + \frac{9}{6} - \frac{1}{6}} = 5^{\frac{12}{6}} = 5^2 = 25$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 2

(3) 125

(4) 8

(5) 7

(6) 25