整式 $P(x)$ が与えられており、$P(x)$ を $x-1$ で割った余りが 2 であり、$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $2x+5$ であるとする。 (1) $P(-1)$ を求める。 (2) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)$ で割った余りを求める。 (3) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)^2$ で割った余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ が与えられており、$P(x)$ を $x-1$ で割った余りが 2 であり、$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $2x+5$ であるとする。

(1) $P(-1)$ を求める。

(2) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)$ で割った余りを求める。

(3) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)^2$ で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) 余りの定理より、$P(1) = 2$ である。$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $2x+5$ であるから、$P(x) = (x+1)^2 Q(x) + 2x + 5$ と表せる。ここで、$x = -1$ を代入すると、

$P(-1) = (-1+1)^2 Q(-1) + 2(-1) + 5 = 0 + (-2) + 5 = 3$

したがって、$P(-1) = 3$ である。

(2) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)$ で割った余りを $ax+b$ とすると、$P(x) = (x-1)(x+1) S(x) + ax+b$ と表せる。

$P(1) = a(1) + b = a + b = 2$

$P(-1) = a(-1) + b = -a + b = 3$

これらを連立させて解くと、

$a+b = 2$

$-a+b = 3$

$2b = 5$

$b = \frac{5}{2}$

$a = 2 - b = 2 - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}$

したがって、余りは $-\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ である。

(3) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)^2$ で割った余りを $R(x)$ とすると、

$P(x) = (x-1)(x+1)^2 T(x) + R(x)$ と表せる。$R(x)$ は 2次以下の多項式である。

$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $2x+5$ であるから、$R(x) = A(x+1)^2 + 2x+5$ と表せる。

$P(x) = (x-1)(x+1)^2 T(x) + A(x+1)^2 + 2x+5$

$P(1) = A(1+1)^2 + 2(1) + 5 = 4A + 2 + 5 = 4A + 7 = 2$

$4A = -5$

$A = -\frac{5}{4}$

$R(x) = -\frac{5}{4}(x+1)^2 + 2x + 5 = -\frac{5}{4}(x^2+2x+1) + 2x + 5 = -\frac{5}{4}x^2 - \frac{10}{4}x - \frac{5}{4} + 2x + 5 = -\frac{5}{4}x^2 - \frac{5}{2}x - \frac{5}{4} + 2x + 5 = -\frac{5}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{15}{4}$

したがって、余りは $-\frac{5}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{15}{4}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $P(-1) = 3$

(2) $-\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

(3) $-\frac{5}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{15}{4}$