$x$ の連立不等式 $5x - 2 > 12 + 3x$ と $x - a \ge 3x + 1$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個だけ存在するとき、定数 $a$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x$ の連立不等式 $5x - 2 > 12 + 3x$ と $x - a \ge 3x + 1$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個だけ存在するとき、定数 $a$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解く。

一つ目の不等式：

$5x - 2 > 12 + 3x$

$2x > 14$

$x > 7$

二つ目の不等式：

$x - a \ge 3x + 1$

$-2x \ge a + 1$

$2x \le -a - 1$

$x \le \frac{-a - 1}{2}$

この連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど3個だけ存在するので、整数 $x$ は $8, 9, 10$ である必要がある。よって、

$10 \le \frac{-a - 1}{2} < 11$

が成り立つ必要がある。

それぞれの辺を2倍する：

$20 \le -a - 1 < 22$

それぞれの辺に1を加える：

$21 \le -a < 23$

それぞれの辺に-1をかける（不等号の向きが変わる）：

$-23 < a \le -21$

3. 最終的な答え

$-23 < a \le -21$