与えられた等式 $x^2 + x + a = (x + b)^2$ が常に成り立つような $a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^2 + x + a = (x + b)^2$ が常に成り立つような $a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

$(x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2$

次に、与えられた等式に代入します。

$x^2 + x + a = x^2 + 2bx + b^2$

この等式が常に成り立つためには、両辺の $x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、以下の2つの式が得られます。

$1 = 2b$

$a = b^2$

最初の式から、$b$ の値を求めます。

$b = \frac{1}{2}$

次に、この $b$ の値を2番目の式に代入して、$a$ の値を求めます。

$a = (\frac{1}{2})^2$

$a = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{2}$