行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ および $B = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ について、以下の計算を行ってください。 (1) $2(A + 3B) - 3(2A + B)$ (2) ${}^tAB$ (3) $A {}^tA$ ただし、${}^tA$ は $A$ の転置行列を表します。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ および $B = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ について、以下の計算を行ってください。

(1) $2(A + 3B) - 3(2A + B)$

(2) ${}^tAB$

(3) $A {}^tA$

ただし、${}^tA$ は $A$ の転置行列を表します。

2. 解き方の手順

(1) $2(A + 3B) - 3(2A + B)$ を計算します。

まず、$A + 3B$ と $2A + B$ を計算します。

$A + 3B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 15 & 0 \\ -3 & 9 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 1 \\ -3 & 7 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$

$2A + B = 2\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -4 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -1 \\ 8 & 8 \end{pmatrix}$

したがって、

$2(A + 3B) - 3(2A + B) = 2\begin{pmatrix} 14 & 1 \\ -3 & 7 \\ 4 & 9 \end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -1 \\ 8 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28 & 2 \\ -6 & 14 \\ 8 & 18 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ -3 & -3 \\ 24 & 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & -4 \\ -3 & 17 \\ -16 & -6 \end{pmatrix}$

(2) ${}^tAB$ を計算します。

まず、${}^tA$ を計算します。

${}^tA = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

次に、$AB$ を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5-1 & 3 \\ 2 & -6 \\ 20-3 & 6+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 3 \\ 2 & -6 \\ 17 & 12 \end{pmatrix}$

したがって、

${}^t(AB) = \begin{pmatrix} -6 & 2 & 17 \\ 3 & -6 & 12 \end{pmatrix}$

(3) $A {}^tA$ を計算します。

${}^tA = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

なので、

$A {}^tA = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & -2 & -4+3 \\ -2 & 4 & -6 \\ -4+3 & -6 & 16+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & 4 & -6 \\ -1 & -6 & 25 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $2(A + 3B) - 3(2A + B) = \begin{pmatrix} 19 & -4 \\ -3 & 17 \\ -16 & -6 \end{pmatrix}$

(2) ${}^t(AB) = \begin{pmatrix} -6 & 2 & 17 \\ 3 & -6 & 12 \end{pmatrix}$

(3) $A {}^tA = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & 4 & -6 \\ -1 & -6 & 25 \end{pmatrix}$