二項定理を用いて、以下の等式を証明します。 $${}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = 2^n$$

1. 問題の内容

二項定理を用いて、以下の等式を証明します。

$${}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = 2^n$$

2. 解き方の手順

二項定理は、任意の非負整数 $n$ に対して、次の式が成り立つことを示しています。

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k a^{n-k} b^k = {}_nC_0 a^n b^0 + {}_nC_1 a^{n-1} b^1 + {}_nC_2 a^{n-2} b^2 + \dots + {}_nC_n a^0 b^n$

ここで、$a = 1$、$b = 1$ を代入すると、

$(1 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k 1^{n-k} 1^k = {}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n$

したがって、

$2^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n$

3. 最終的な答え

${}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = 2^n$