与えられた2つの3x3行列の行列式を、各行および各列に関する展開（余因子展開）を用いて求めよ。 行列A: $ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ -1 & 5 & 0 \\ 3 & 7 & 1 \end{vmatrix} $ 行列B: $ \begin{vmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & 4 & 0 \\ 2 & 6 & -3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた2つの3x3行列の行列式を、各行および各列に関する展開（余因子展開）を用いて求めよ。

行列A:

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & -2 \\

-1 & 5 & 0 \\

3 & 7 & 1

\end{vmatrix}

$$

行列B:

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & -2 \\

3 & 4 & 0 \\

2 & 6 & -3

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式は、ある行または列を選び、その要素と余因子との積の和として計算できます。余因子とは、その要素を含む行と列を取り除いた小行列の行列式に、符号を掛けたものです。符号は、要素の位置によって決まります。

行列Aについて、1行で展開します。

$$

\begin{aligned}

\det(A) &= 2 \cdot C_{11} + 1 \cdot C_{12} + (-2) \cdot C_{13} \\

&= 2 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} \\

&= 2 \cdot (5 \cdot 1 - 0 \cdot 7) - 1 \cdot ((-1) \cdot 1 - 0 \cdot 3) + (-2) \cdot ((-1) \cdot 7 - 5 \cdot 3) \\

&= 2 \cdot 5 - 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-7 - 15) \\

&= 10 + 1 - 2 \cdot (-22) \\

&= 10 + 1 + 44 \\

&= 55

\end{aligned}

$$

行列Aについて、1列で展開します。

$$

\begin{aligned}

\det(A) &= 2 \cdot C_{11} + (-1) \cdot C_{21} + 3 \cdot C_{31} \\

&= 2 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} \\

&= 2 \cdot (5 \cdot 1 - 0 \cdot 7) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-2) \cdot 7) + 3 \cdot (1 \cdot 0 - (-2) \cdot 5) \\

&= 2 \cdot 5 + 1 \cdot (1 + 14) + 3 \cdot (0 + 10) \\

&= 10 + 15 + 30 \\

&= 55

\end{aligned}

$$

行列Bについて、1行で展開します。

$$

\begin{aligned}

\det(B) &= 1 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + (-2) \cdot C_{13} \\

&= 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 6 & -3 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} \\

&= 1 \cdot (4 \cdot (-3) - 0 \cdot 6) - 0 + (-2) \cdot (3 \cdot 6 - 4 \cdot 2) \\

&= 1 \cdot (-12) - 2 \cdot (18 - 8) \\

&= -12 - 2 \cdot 10 \\

&= -12 - 20 \\

&= -32

\end{aligned}

$$

行列Bについて、1列で展開します。

$$

\begin{aligned}

\det(B) &= 1 \cdot C_{11} + 3 \cdot C_{21} + 2 \cdot C_{31} \\

&= 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 6 & -3 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 6 & -3 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} \\

&= 1 \cdot (4 \cdot (-3) - 0 \cdot 6) - 3 \cdot (0 \cdot (-3) - (-2) \cdot 6) + 2 \cdot (0 \cdot 0 - (-2) \cdot 4) \\

&= 1 \cdot (-12) - 3 \cdot (0 + 12) + 2 \cdot (0 + 8) \\

&= -12 - 3 \cdot 12 + 2 \cdot 8 \\

&= -12 - 36 + 16 \\

&= -32

\end{aligned}

$$

3. 最終的な答え

行列Aの行列式：55

行列Bの行列式：-32