濃度5%の食塩水 $x$ (g) と濃度15%の食塩水200gを混ぜて、濃度を7%以上にする時、$x$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

濃度5%の食塩水 $x$ (g) と濃度15%の食塩水200gを混ぜて、濃度を7%以上にする時、$x$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの食塩水に含まれる食塩の量を計算する。

濃度5%の食塩水 $x$ (g) に含まれる食塩の量は $0.05x$ (g) である。

濃度15%の食塩水200gに含まれる食塩の量は $0.15 \times 200 = 30$ (g) である。

混ぜ合わせた食塩水の全体の量は $x + 200$ (g) であり、含まれる食塩の量の合計は $0.05x + 30$ (g) である。

混ぜ合わせた食塩水の濃度は $\frac{0.05x + 30}{x + 200}$ である。

問題の条件より、この濃度が7%以上であるから、次の不等式が成り立つ。

$\frac{0.05x + 30}{x + 200} \geq 0.07$

両辺に $(x + 200)$ を掛ける。$x>0$なので$x+200>0$で不等号の向きは変わらない。

$0.05x + 30 \geq 0.07(x + 200)$

$0.05x + 30 \geq 0.07x + 14$

両辺から $0.05x$ を引く。

$30 \geq 0.02x + 14$

両辺から14を引く。

$16 \geq 0.02x$

両辺を0.02で割る。

$\frac{16}{0.02} \geq x$

$800 \geq x$

すなわち、$x \leq 800$

また、食塩水の量なので、$x > 0$ である。

3. 最終的な答え

$0 < x \leq 800$