2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m+5 = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m+5 = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が $D = 0$ となることです。この問題では、$a = 1$, $b = m+2$, $c = m+5$ なので、

$$D = (m+2)^2 - 4(1)(m+5) = 0$$

これを展開して整理します。

$$m^2 + 4m + 4 - 4m - 20 = 0$$

$$m^2 - 16 = 0$$

$$(m - 4)(m + 4) = 0$$

よって、$m = 4$ または $m = -4$ です。

(i) $m = 4$ のとき、2次方程式は

$$x^2 + (4+2)x + 4+5 = 0$$

$$x^2 + 6x + 9 = 0$$

$$(x+3)^2 = 0$$

よって、重解は $x = -3$ です。

(ii) $m = -4$ のとき、2次方程式は

$$x^2 + (-4+2)x + (-4)+5 = 0$$

$$x^2 - 2x + 1 = 0$$

$$(x-1)^2 = 0$$

よって、重解は $x = 1$ です。

3. 最終的な答え

$m = 4$ のとき、重解は $x = -3$

$m = -4$ のとき、重解は $x = 1$