関数 $y = x^2 - 4x + 1$ について、定義域が以下の範囲であるときに、最大値と最小値をそれぞれ求めます。 (1) $-2 \le x \le 1$ (2) $1 \le x \le 4$ (3) $4 \le x \le 5$ (4) $0 \le x \le 4$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

**練習17**

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 4x + 1$ について、定義域が以下の範囲であるときに、最大値と最小値をそれぞれ求めます。

(1) $-2 \le x \le 1$

(2) $1 \le x \le 4$

(3) $4 \le x \le 5$

(4) $0 \le x \le 4$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3$

この関数は、下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(2, -3)$ です。各定義域における最大値と最小値を求めるために、定義域の両端の値と頂点のx座標を比較します。

(1) $-2 \le x \le 1$

定義域の端の値における関数の値を計算します。

$x = -2$ のとき、$y = (-2 - 2)^2 - 3 = 16 - 3 = 13$

$x = 1$ のとき、$y = (1 - 2)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

頂点のx座標は2であり、この定義域に含まれていないため、最大値は13、最小値は-2です。

(2) $1 \le x \le 4$

定義域の端の値における関数の値を計算します。

$x = 1$ のとき、$y = (1 - 2)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

$x = 4$ のとき、$y = (4 - 2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

頂点のx座標は2であり、この定義域に含まれているため、頂点のy座標である-3が最小値の候補となります。

したがって、最大値は1、最小値は-3です。

(3) $4 \le x \le 5$

定義域の端の値における関数の値を計算します。

$x = 4$ のとき、$y = (4 - 2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$x = 5$ のとき、$y = (5 - 2)^2 - 3 = 9 - 3 = 6$

頂点のx座標は2であり、この定義域に含まれていないため、最大値は6、最小値は1です。

(4) $0 \le x \le 4$

定義域の端の値における関数の値を計算します。

$x = 0$ のとき、$y = (0 - 2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$x = 4$ のとき、$y = (4 - 2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

頂点のx座標は2であり、この定義域に含まれているため、頂点のy座標である-3が最小値の候補となります。

したがって、最大値は1、最小値は-3です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 13、最小値: -2

(2) 最大値: 1、最小値: -3

(3) 最大値: 6、最小値: 1

(4) 最大値: 1、最小値: -3

**練習18**

1. 問題の内容

次の関数の最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($0 \le x \le 3$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($1 \le x \le 4$)

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$)

(4) $y = -2x^2 + 14x$ ($0 \le x \le 7$)

2. 解き方の手順

各関数を平方完成し、定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 - 1 + 3 = (x - 1)^2 + 2$

頂点の座標は $(1, 2)$ で、下に凸の放物線です。

$x = 0$ のとき、$y = (0 - 1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$x = 3$ のとき、$y = (3 - 1)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$

頂点のx座標は1であり、この定義域に含まれているため、頂点のy座標である2が最小値となります。

したがって、最大値は6、最小値は2です。

(2) $y = -x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x) - 3 = -(x - 2)^2 + 4 - 3 = -(x - 2)^2 + 1$

頂点の座標は $(2, 1)$ で、上に凸の放物線です。

$x = 1$ のとき、$y = -(1 - 2)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$

$x = 4$ のとき、$y = -(4 - 2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$

頂点のx座標は2であり、この定義域に含まれているため、頂点のy座標である1が最大値となります。

したがって、最大値は1、最小値は-3です。

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1 = 3(x^2 + 2x) - 1 = 3(x + 1)^2 - 3 - 1 = 3(x + 1)^2 - 4$

頂点の座標は $(-1, -4)$ で、下に凸の放物線です。

$x = 1$ のとき、$y = 3(1 + 1)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$

$x = 3$ のとき、$y = 3(3 + 1)^2 - 4 = 3(16) - 4 = 48 - 4 = 44$

頂点のx座標は-1であり、この定義域に含まれていません。

したがって、最大値は44、最小値は8です。

(4) $y = -2x^2 + 14x = -2(x^2 - 7x) = -2(x - \frac{7}{2})^2 + 2(\frac{49}{4}) = -2(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{2}$

頂点の座標は $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$ で、上に凸の放物線です。

$x = 0$ のとき、$y = -2(0)^2 + 14(0) = 0$

$x = 7$ のとき、$y = -2(7)^2 + 14(7) = -98 + 98 = 0$

頂点のx座標は $\frac{7}{2} = 3.5$ であり、この定義域に含まれているため、頂点のy座標である $\frac{49}{2} = 24.5$ が最大値となります。

したがって、最大値は 49/2、最小値は 0 です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 6、最小値: 2

(2) 最大値: 1、最小値: -3

(3) 最大値: 44、最小値: 8

(4) 最大値: 49/2、最小値: 0