実数 $a$, $b$ について、条件 $p$, $q$ が与えられたとき、$p$ が $q$ であるための何条件になるかを答える問題です。選択肢は、ア（必要条件）、イ（十分条件）、ウ（必要十分条件）、エ（必要条件でも十分条件でもない）です。 (1) $p: a = 3 かつ b = 4$ , $q: ab = 12$ (2) $p: a^2 = b^2$, $q: a = b$

1. 問題の内容

実数 $a$, $b$ について、条件 $p$, $q$ が与えられたとき、$p$ が $q$ であるための何条件になるかを答える問題です。選択肢は、ア（必要条件）、イ（十分条件）、ウ（必要十分条件）、エ（必要条件でも十分条件でもない）です。

(1) $p: a = 3 かつ b = 4$ , $q: ab = 12$

(2) $p: a^2 = b^2$, $q: a = b$

2. 解き方の手順

(1) $p: a = 3 かつ b = 4$ ならば $q: ab = 12$ であるかを考えます。

$a = 3$ かつ $b = 4$ ならば、$ab = 3 \times 4 = 12$ なので、$q$ は成り立ちます。

したがって、$p \implies q$ は真です。

次に、$q: ab = 12$ ならば $p: a = 3 かつ b = 4$ であるかを考えます。

$ab = 12$ でも、$a = 2$, $b = 6$ など、$a = 3 かつ b = 4$ 以外の組み合わせが存在します。

したがって、$q \implies p$ は偽です。

よって、$p$ は $q$ であるための十分条件となります。

(2) $p: a^2 = b^2$ ならば $q: a = b$ であるかを考えます。

$a^2 = b^2$ ならば、$a = b$ または $a = -b$ です。したがって、$q$ は成り立ちません。

例えば、$a = -2$, $b = 2$ のとき、$a^2 = 4 = b^2$ ですが、$a \neq b$ です。

したがって、$p \implies q$ は偽です。

次に、$q: a = b$ ならば $p: a^2 = b^2$ であるかを考えます。

$a = b$ ならば、$a^2 = b^2$ は成り立ちます。

したがって、$q \implies p$ は真です。

よって、$p$ は $q$ であるための必要条件となります。

3. 最終的な答え

(1) イ

(2) ア