関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に、x座標がそれぞれ -3, 2 となる点 A, B がある。また、点 C は x 軸上の点で、x座標は -3 である。 (1) 直線 AB の式を求めよ。 (2) △AOB の面積を求めよ。 (3) 線分 AC 上の点で、△AOB = △APB となるような点 P をとる。点 P の座標を求めよ。

はい、承知しました。問題 54 を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に、x座標がそれぞれ -3, 2 となる点 A, B がある。また、点 C は x 軸上の点で、x座標は -3 である。

(1) 直線 AB の式を求めよ。

(2) △AOB の面積を求めよ。

(3) 線分 AC 上の点で、△AOB = △APB となるような点 P をとる。点 P の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 AB の式を求める。

- 点 A の座標は、$x = -3$ を $y = \frac{1}{2}x^2$ に代入して、$y = \frac{1}{2}(-3)^2 = \frac{9}{2}$。したがって、A の座標は $(-3, \frac{9}{2})$。

- 点 B の座標は、$x = 2$ を $y = \frac{1}{2}x^2$ に代入して、$y = \frac{1}{2}(2)^2 = 2$。したがって、B の座標は $(2, 2)$。

- 直線 AB の傾きは、$\frac{2 - \frac{9}{2}}{2 - (-3)} = \frac{-\frac{5}{2}}{5} = -\frac{1}{2}$。

- 直線 AB の式を $y = -\frac{1}{2}x + b$ とおく。点 B $(2, 2)$ を代入すると、$2 = -\frac{1}{2}(2) + b$ より、$b = 3$。

- よって、直線 AB の式は $y = -\frac{1}{2}x + 3$。

(2) △AOB の面積を求める。

- 直線 AB と y 軸の交点を D とすると、D の座標は (0, 3)。

- △AOB の面積は、△AOD の面積と △BOD の面積の和である。

- △AOD の面積は、$\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$。

- △BOD の面積は、$\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$。

- △AOB の面積は、$\frac{9}{2} + 3 = \frac{15}{2}$。

(3) 点 P の座標を求める。

- 点 C の座標は (-3, 0)。線分 AC 上の点 P の座標を $(-3, y)$ とする。

- △APB の面積は、底辺 AB を共有していると考えると、高さが等しいとき面積が等しい。したがって、点Pは原点Oと同じ高さにあると考える。

- △AOB = △APB となるためには、点 P の y 座標は点 O の y 座標と一致する必要がある。しかし、P は AC 上にあるため、点Pの座標は(-3, 0)となる。

3. 最終的な答え

(1) 直線 AB の式：$y = -\frac{1}{2}x + 3$

(2) △AOB の面積：$\frac{15}{2}$

(3) 点 P の座標：(-3, 0)