三角形ABCの内角をそれぞれA, B, Cとする。以下の等式を証明する。 (1) $\sin{\frac{A+B}{2}} = \cos{\frac{C}{2}}$ (2) $\cos{A} = -\cos{(B+C)}$

1. 問題の内容

三角形ABCの内角をそれぞれA, B, Cとする。以下の等式を証明する。

(1) $\sin{\frac{A+B}{2}} = \cos{\frac{C}{2}}$

(2) $\cos{A} = -\cos{(B+C)}$

2. 解き方の手順

(1)

三角形の内角の和は180度なので、

$A + B + C = 180^\circ$

よって、

$A + B = 180^\circ - C$

両辺を2で割ると、

$\frac{A+B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$

$\sin{\frac{A+B}{2}} = \sin{(90^\circ - \frac{C}{2})}$

$\sin{(90^\circ - \frac{C}{2})} = \cos{\frac{C}{2}}$

したがって、

$\sin{\frac{A+B}{2}} = \cos{\frac{C}{2}}$

が成り立つ。

(2)

三角形の内角の和は180度なので、

$A + B + C = 180^\circ$

$B + C = 180^\circ - A$

$\cos{(B+C)} = \cos{(180^\circ - A)}$

$\cos{(180^\circ - A)} = -\cos{A}$

よって、

$\cos{A} = -\cos{(B+C)}$

が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\sin{\frac{A+B}{2}} = \cos{\frac{C}{2}}$

(2) $\cos{A} = -\cos{(B+C)}$