$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -\sqrt{2}$ が与えられている。この条件のもとで、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -\sqrt{2}$ が与えられている。この条件のもとで、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\tan \theta$ の値が負であることから、$\theta$ は第2象限の角であることがわかる。なぜなら、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲において、$\tan \theta$ が負となるのは $90^\circ < \theta < 180^\circ$ のときのみだからである。

まず、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ という公式を利用して、$\cos \theta$ の値を求める。

$\tan \theta = -\sqrt{2}$ を代入すると、

$1 + (-\sqrt{2})^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + 2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$3 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる。$\theta$ が第2象限の角であるから、$\cos \theta$ は負である。

よって、$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

次に、$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$ という関係を利用して、$\sin \theta$ の値を求める。

$\sin \theta = (-\sqrt{2}) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$