20人の生徒の中から4人の代表を選ぶとき、X君とY君がともに選ばれない組み合わせは何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

20人の生徒の中から4人の代表を選ぶとき、X君とY君がともに選ばれない組み合わせは何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、X君とY君を含めた20人から4人を選ぶ全ての組み合わせを考えます。次に、X君とY君がともに選ばれる組み合わせの数を求めます。

そして、全体の組み合わせから、X君とY君がともに選ばれる組み合わせの数を引くことで、X君とY君がともに選ばれない組み合わせの数を求めます。

* 20人から4人を選ぶすべての組み合わせの数は、組み合わせの公式を用いて計算できます。

${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

${}_{20}C_{4} = \frac{20!}{4!16!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$

* X君とY君がともに選ばれる組み合わせを考えます。

X君とY君が選ばれているので、残り2人を選ぶ必要があります。残りの2人は、X君とY君を除く18人から選びます。

${}_{18}C_{2} = \frac{18!}{2!16!} = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 153$

* X君とY君がともに選ばれない組み合わせの数は、20人から4人を選ぶすべての組み合わせの数から、X君とY君がともに選ばれる組み合わせの数を引くことで求められます。

$4845 - 153 = 4692$

3. 最終的な答え

4692通り