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点Oを中心とする半径1の円に内接する三角形ABCがあり、$2 \vec{OA} + 3 \vec{OB} + 4 \vec{OC} = \vec{0}$ を満たしている。この円上に点Pがあり、線分ABと線分CPは直交している。 (1) 内積 $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ と $|\vec{AB}|$ をそれぞれ求めよ。 (2) 線分ABと線分CPの交点をHとするとき、AH : HB を求めよ。 (3) 四角形 APBC の面積を求めよ。

幾何学ベクトル円内積面積
2025/7/21

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径1の円に内接する三角形ABCがあり、2OA⃗+3OB⃗+4OC⃗=0⃗2 \vec{OA} + 3 \vec{OB} + 4 \vec{OC} = \vec{0} を満たしている。この円上に点Pがあり、線分ABと線分CPは直交している。
(1) 内積 OA⃗⋅OB⃗\vec{OA} \cdot \vec{OB} と ∣AB⃗∣|\vec{AB}| をそれぞれ求めよ。
(2) 線分ABと線分CPの交点をHとするとき、AH : HB を求めよ。
(3) 四角形 APBC の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)
まず、2OA⃗+3OB⃗+4OC⃗=0⃗2 \vec{OA} + 3 \vec{OB} + 4 \vec{OC} = \vec{0} より、 4OC⃗=−2OA⃗−3OB⃗4 \vec{OC} = -2 \vec{OA} - 3 \vec{OB} である。したがって、OC⃗=−12OA⃗−34OB⃗\vec{OC} = -\frac{1}{2} \vec{OA} - \frac{3}{4} \vec{OB} となる。
両辺の絶対値の2乗を計算すると、
∣OC⃗∣2=(−12OA⃗−34OB⃗)⋅(−12OA⃗−34OB⃗)|\vec{OC}|^2 = (-\frac{1}{2} \vec{OA} - \frac{3}{4} \vec{OB}) \cdot (-\frac{1}{2} \vec{OA} - \frac{3}{4} \vec{OB})
1=14∣OA⃗∣2+34OA⃗⋅OB⃗+916∣OB⃗∣21 = \frac{1}{4}|\vec{OA}|^2 + \frac{3}{4} \vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{9}{16}|\vec{OB}|^2
1=14+34OA⃗⋅OB⃗+9161 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{9}{16}
1=4+916+34OA⃗⋅OB⃗1 = \frac{4+9}{16} + \frac{3}{4} \vec{OA} \cdot \vec{OB}
716=34OA⃗⋅OB⃗\frac{7}{16} = \frac{3}{4} \vec{OA} \cdot \vec{OB}
OA⃗⋅OB⃗=716×43=712\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \frac{7}{16} \times \frac{4}{3} = \frac{7}{12}
次に、 ∣AB⃗∣|\vec{AB}| を求める。
AB⃗=OB⃗−OA⃗\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} より、
∣AB⃗∣2=(OB⃗−OA⃗)⋅(OB⃗−OA⃗)|\vec{AB}|^2 = (\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA})
∣AB⃗∣2=∣OB⃗∣2−2OA⃗⋅OB⃗+∣OA⃗∣2|\vec{AB}|^2 = |\vec{OB}|^2 - 2 \vec{OA} \cdot \vec{OB} + |\vec{OA}|^2
∣AB⃗∣2=1−2×712+1|\vec{AB}|^2 = 1 - 2 \times \frac{7}{12} + 1
∣AB⃗∣2=2−76=12−76=56|\vec{AB}|^2 = 2 - \frac{7}{6} = \frac{12-7}{6} = \frac{5}{6}
∣AB⃗∣=56=306|\vec{AB}| = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}
(2)
線分ABと線分CPの交点をHとするとき、AH : HB を求める。
2OA⃗+3OB⃗+4OC⃗=0⃗2 \vec{OA} + 3 \vec{OB} + 4 \vec{OC} = \vec{0} より、2OA⃗+3OB⃗=−4OC⃗2 \vec{OA} + 3 \vec{OB} = -4 \vec{OC}
OC⃗=−24OA⃗−34OB⃗=−12OA⃗−34OB⃗\vec{OC} = -\frac{2}{4} \vec{OA} - \frac{3}{4} \vec{OB} = -\frac{1}{2} \vec{OA} - \frac{3}{4} \vec{OB}
2OA⃗+3OB⃗=5OH⃗2 \vec{OA} + 3 \vec{OB} = 5 \vec{OH} となるように点Hを定めると、OH⃗=2OA⃗+3OB⃗5\vec{OH} = \frac{2 \vec{OA} + 3 \vec{OB}}{5}
したがって、点Hは線分ABを3:2に内分する点である。つまり、AH : HB = 3 : 2
(3)
四角形 APBC の面積を求める。
OP⃗=kOC⃗\vec{OP} = k \vec{OC}
AB⃗⊥CP⃗\vec{AB} \perp \vec{CP} より、 (OB⃗−OA⃗)⋅(OP⃗−OC⃗)=0(\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OP} - \vec{OC}) = 0
(OB⃗−OA⃗)⋅(kOC⃗−OC⃗)=0(\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot (k \vec{OC} - \vec{OC}) = 0
(OB⃗−OA⃗)⋅(k−1)OC⃗=0(\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot (k-1) \vec{OC} = 0
(k−1)(OB⃗−OA⃗)⋅OC⃗=0(k-1)(\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot \vec{OC} = 0
k≠1k \neq 1 のとき、(OB⃗−OA⃗)⋅OC⃗=0(\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot \vec{OC} = 0
OB⃗⋅OC⃗=OA⃗⋅OC⃗\vec{OB} \cdot \vec{OC} = \vec{OA} \cdot \vec{OC}
OC⃗=−12OA⃗−34OB⃗\vec{OC} = -\frac{1}{2} \vec{OA} - \frac{3}{4} \vec{OB} より、
OB⃗⋅(−12OA⃗−34OB⃗)=OA⃗⋅(−12OA⃗−34OB⃗)\vec{OB} \cdot (-\frac{1}{2} \vec{OA} - \frac{3}{4} \vec{OB}) = \vec{OA} \cdot (-\frac{1}{2} \vec{OA} - \frac{3}{4} \vec{OB})
−12OA⃗⋅OB⃗−34∣OB⃗∣2=−12∣OA⃗∣2−34OA⃗⋅OB⃗-\frac{1}{2} \vec{OA} \cdot \vec{OB} - \frac{3}{4} |\vec{OB}|^2 = -\frac{1}{2} |\vec{OA}|^2 - \frac{3}{4} \vec{OA} \cdot \vec{OB}
−12×712−34=−12−34×712-\frac{1}{2} \times \frac{7}{12} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} - \frac{3}{4} \times \frac{7}{12}
−724−34=−12−716-\frac{7}{24} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} - \frac{7}{16}
−724−1824=−816−716-\frac{7}{24} - \frac{18}{24} = -\frac{8}{16} - \frac{7}{16}
−2524=−1516-\frac{25}{24} = -\frac{15}{16} (矛盾)
したがって、k = 1 となり、 OP⃗=OC⃗\vec{OP} = \vec{OC}。つまり、P = C。
したがって、四角形APBCは三角形ABCとなるため、面積は0である。

3. 最終的な答え

(1) OA⃗⋅OB⃗=712\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \frac{7}{12}、 ∣AB⃗∣=306|\vec{AB}| = \frac{\sqrt{30}}{6}
(2) AH : HB = 3 : 2
(3) 0

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