関数 $y = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ の $0 \le \theta \le \pi$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ の $0 \le \theta \le \pi$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の合成を行います。

$y = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2 \left( \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right)$

ここで、$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ かつ $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であることを利用すると、

$y = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} \sin \theta + \sin \frac{\pi}{3} \cos \theta \right) = 2 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right)$

次に、$\theta$ の範囲が $0 \le \theta \le \pi$ であることから、$\theta + \frac{\pi}{3}$ の範囲を求めます。

$0 + \frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \pi + \frac{\pi}{3}$

すなわち、

$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$

$\sin$ 関数は、$\frac{\pi}{2}$ で最大値1をとり、$\frac{3\pi}{2}$ で最小値-1をとります。

$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$ の範囲において、$\sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right)$ は $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ で最大値1をとり、$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$ を範囲に含まないので最小値は$\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$となります。

したがって、$y = 2 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right)$ の最大値は $2 \cdot 1 = 2$ であり、最小値は $2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

最大値は 2

最小値は $-\sqrt{3}$