$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ で、$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\tan 2\alpha$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ で、$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\tan 2\alpha$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin \alpha$ の値を求める。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より $\sin \alpha > 0$ なので、

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

(1) $\sin 2\alpha$ を求める。

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

(2) $\cos 2\alpha$ を求める。

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$

(3) $\tan 2\alpha$ を求める。

$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-\frac{4\sqrt{5}}{9}}{\frac{1}{9}} = -4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

(2) $\cos 2\alpha = \frac{1}{9}$

(3) $\tan 2\alpha = -4\sqrt{5}$