$\log_{\frac{1}{2}} 3$, $\log_{\frac{1}{4}} 5$, $\log_2 \frac{1}{4}$ の3つの値を小さい順に並べる問題です。

1. 問題の内容

$\log_{\frac{1}{2}} 3$, $\log_{\frac{1}{4}} 5$, $\log_2 \frac{1}{4}$ の3つの値を小さい順に並べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの対数の値を計算します。

$\log_{\frac{1}{2}} 3$ について、$\frac{1}{2} = 2^{-1}$ より、

$\log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{2^{-1}} 3 = -\log_2 3$

$1 < 3 < 4 = 2^2$ より、$0 < \log_2 3 < 2$。さらに、$2 < 3 < 2\sqrt{2}$, より$1 < \log_2 3 < 1.5$であることがわかる。正確には$\log_2 3 \approx 1.585$なので、$-\log_2 3 \approx -1.585$です。

$\log_{\frac{1}{4}} 5$ について、$\frac{1}{4} = 4^{-1}$ より、

$\log_{\frac{1}{4}} 5 = \log_{4^{-1}} 5 = -\log_4 5$

$4 < 5 < 16 = 4^2$ より、$1 < \log_4 5 < 2$。さらに、$5 < 4\sqrt{4}=8$, より$1 < \log_4 5 < 1.5$であることがわかる。正確には$\log_4 5 \approx 1.161$なので、$-\log_4 5 \approx -1.161$です。

$\log_2 \frac{1}{4}$ について、$\frac{1}{4} = 2^{-2}$ より、

$\log_2 \frac{1}{4} = \log_2 2^{-2} = -2$

したがって、3つの値はおよそ $-1.585, -1.161, -2$ となります。

これらの値を小さい順に並べると、$-2 < -1.585 < -1.161$ となります。

3. 最終的な答え

$\log_2 \frac{1}{4}, \log_{\frac{1}{2}} 3, \log_{\frac{1}{4}} 5$