$3\alpha = 2\alpha + \alpha$ であることを用いて、以下の等式を証明する問題です。 (1) $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$ (2) $\cos 3\alpha = -3\cos \alpha + 4\cos^3 \alpha$

1. 問題の内容

$3\alpha = 2\alpha + \alpha$ であることを用いて、以下の等式を証明する問題です。

(1) $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$

(2) $\cos 3\alpha = -3\cos \alpha + 4\cos^3 \alpha$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$ の証明

$3\alpha = 2\alpha + \alpha$ を用いて、$\sin 3\alpha = \sin(2\alpha + \alpha)$ とします。

三角関数の加法定理より、

$\sin(2\alpha + \alpha) = \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha$

倍角の公式より、$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$、$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ を代入すると、

$\sin 3\alpha = 2\sin \alpha \cos^2 \alpha + (1 - 2\sin^2 \alpha)\sin \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ を代入すると、

$\sin 3\alpha = 2\sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha) + (1 - 2\sin^2 \alpha)\sin \alpha$

$\sin 3\alpha = 2\sin \alpha - 2\sin^3 \alpha + \sin \alpha - 2\sin^3 \alpha$

$\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$

(2) $\cos 3\alpha = -3\cos \alpha + 4\cos^3 \alpha$ の証明

$3\alpha = 2\alpha + \alpha$ を用いて、$\cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha)$ とします。

三角関数の加法定理より、

$\cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha$

倍角の公式より、$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$、$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ を代入すると、

$\cos 3\alpha = (2\cos^2 \alpha - 1)\cos \alpha - 2\sin^2 \alpha \cos \alpha$

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ を代入すると、

$\cos 3\alpha = (2\cos^2 \alpha - 1)\cos \alpha - 2(1 - \cos^2 \alpha)\cos \alpha$

$\cos 3\alpha = 2\cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2\cos \alpha + 2\cos^3 \alpha$

$\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$

$\cos 3\alpha = -3\cos \alpha + 4\cos^3 \alpha$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$

(2) $\cos 3\alpha = -3\cos \alpha + 4\cos^3 \alpha$