0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字を用いて3桁の整数を作る問題です。 (1) 異なる3個の数字を用いる場合 (2) 同じ数字を繰り返し用いてよい場合 (3) 異なる3個の数字を用いる偶数の場合 (4) 異なる3個の数字を用いる 320 以下の整数の場合 について、それぞれ可能な個数を求めます。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字を用いて3桁の整数を作る問題です。

(1) 異なる3個の数字を用いる場合

(2) 同じ数字を繰り返し用いてよい場合

(3) 異なる3個の数字を用いる偶数の場合

(4) 異なる3個の数字を用いる 320 以下の整数の場合

について、それぞれ可能な個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 異なる3個の数字を用いる場合

百の位は0以外の5通り、十の位は百の位で使った数字以外の5通り、一の位は百の位と十の位で使った数字以外の4通り。

よって $5 \times 5 \times 4 = 100$ 通り。

(2) 同じ数字を繰り返し用いてよい場合

百の位は0以外の5通り、十の位は6通り、一の位も6通り。

よって $5 \times 6 \times 6 = 180$ 通り。

(3) 異なる3個の数字を用いる偶数の場合

一の位が偶数の場合を考える。

(i) 一の位が0の場合、百の位は5通り、十の位は4通りなので、$5 \times 4 = 20$ 通り。

(ii) 一の位が2, 4の場合、百の位は0と一の位で使った数字以外なので4通り。十の位は百の位と一の位で使った数字以外なので4通り。よって$2 \times 4 \times 4 = 32$ 通り。

合計すると $20 + 32 = 52$ 通り。

(4) 異なる3個の数字を用いて 320 以下の整数の場合

(i) 百の位が1の場合、十の位は5通り、一の位は4通りなので、$1 \times 5 \times 4 = 20$ 通り。

(ii) 百の位が2の場合、十の位は5通り、一の位は4通りなので、$1 \times 5 \times 4 = 20$ 通り。

(iii) 百の位が3の場合、十の位が0の場合、一の位は4通りなので、$1 \times 1 \times 4 = 4$ 通り。

(iv) 百の位が3の場合、十の位が1の場合、一の位は4通りなので、$1 \times 1 \times 4 = 4$ 通り。

(v) 320の場合を考える。百の位が3、十の位が2、一の位が0。これは条件を満たす。

合計すると $20 + 20 + 4 + 4 + 1 = 49$ 通り。ただし、問題文の読み方によって答えが異なる場合があります。320を含めない場合は48通りです。

3. 最終的な答え

(1) 100個

(2) 180個

(3) 52個

(4) 49個 (320を含める場合) または 48個 (320を含めない場合)