数列$\{a_n\}$が与えられており、$a_{220}$を求める問題です。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が与えられており、$a_{220}$を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた数列は、

$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$

という規則性を持っています。

分母が$2, 3, 4, 5, 6, \dots$と増えていき、それぞれの分母に対して分子は$1$から分母より$1$小さい値まで順番に並んでいます。

まず、$a_{220}$がどの分母を持つかを考えます。

分母が$n$である項数は$n-1$個です。したがって、分母が$n$までの項数の合計は

$\sum_{k=2}^{n} (k-1) = \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

となります。

$a_{220}$がどの分母を持つかを調べるために、

$\frac{(n-1)n}{2} \le 220$

となる最大の$n$を見つけます。

$(n-1)n \le 440$

$n^2 - n - 440 \le 0$

$n$について二次方程式$n^2 - n - 440 = 0$を解くと、

$n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4(440)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1761}}{2}$

$\sqrt{1761} \approx 41.96$なので、

$n \approx \frac{1 \pm 41.96}{2}$

$n$は正の整数なので、$n \approx \frac{1 + 41.96}{2} \approx 21.48$

$n=21$とすると、$\frac{(21-1)(21)}{2} = \frac{20 \times 21}{2} = 210$

$n=22$とすると、$\frac{(22-1)(22)}{2} = \frac{21 \times 22}{2} = 231$

したがって、$a_{220}$の分母は$22$であり、210項目までが分母21までです。

$220 - 210 = 10$なので、$a_{220}$は分母が22の10番目の項です。

したがって、$a_{220} = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{11}$