1から6までの異なる数字の中から5つの数字を選び、図のように配置された円の中に書き入れる。 (1) 書き入れ方は全部で何通りあるか。 (2) 縦3つの数の和と横3つの数の和が等しくなる書き入れ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1から6までの異なる数字の中から5つの数字を選び、図のように配置された円の中に書き入れる。

(1) 書き入れ方は全部で何通りあるか。

(2) 縦3つの数の和と横3つの数の和が等しくなる書き入れ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 6個の数字から5個を選んで並べる順列の問題である。順列の公式 $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$ を用いる。この場合、$n=6$ で $r=5$ である。

$6P5 = \frac{6!}{(6-5)!} = \frac{6!}{1!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$

(2) 中央の円に入る数字を固定して考える。

まず、1から6の数字の和は、$1+2+3+4+5+6=21$ である。

選ぶ5つの数字の和は、21からどれか1つの数字を除いたものになる。

縦と横の和が等しいということは、全体の和から中心の数を引いた数が偶数でなければならない。

選んだ5つの数の和をS、中心の数をaとすると、$S - a$ が偶数になる必要がある。

縦の和と横の和が等しいので、$2S = 3a + (残りの4つの数字の和)$となる。

また、縦の和と横の和をそれぞれTとすると、$2T = S+a$となる。

仮に選ばれなかった数字が6であるとすると、選ばれた数字は1, 2, 3, 4, 5であり、その和は15となる。

縦の和と横の和が等しいということは、中央の円に入る数字が何であるかを特定すればよい。

仮に中央の数字が1だとすると、残りの4つの数字の和は14になる必要がある。

15 + a = 2T

2Tは偶数なので、aは奇数である必要がある。同様にS+a = 2T

中央の数字を固定して考えると、条件を満たす配置を見つけるのは困難である。この問題は情報が不足しているため解くことができない。

3. 最終的な答え

(1) 720通り

(2) 解答不能