数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{5}, ...$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\frac{35}{49}$ はこの数列の第何項か。 (2) この数列の第2008項の数を求めよ。 (3) 初項から第1005項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{5}, ...$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\frac{35}{49}$ はこの数列の第何項か。

(2) この数列の第2008項の数を求めよ。

(3) 初項から第1005項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{35}{49}$ を約分すると、$\frac{35}{49} = \frac{5}{7}$ となります。この数列は、分母が $n$ のとき、分子が $1, 3, 5, ..., 2n-1$ と並ぶ数列です。したがって、$\frac{5}{7}$ は分母が 7 の数列の何番目かを考えます。分母が $n$ のとき、分子は $2k-1$ (k=1, 2, ..., n) という形で表されます。

$\frac{5}{7}$ において、分母は 7 なので、$2k - 1 = 5$ を満たす $k$ を求めると、$2k = 6$ より $k = 3$ となります。

したがって、$\frac{5}{7}$ は分母が 7 の数列の 3 番目です。

分母が 1 から 6 までの項数は $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = \frac{6(6+1)}{2} = 21$ 項です。

$\frac{5}{7}$ は分母が 7 の数列の 3 番目なので、$\frac{5}{7}$ は数列全体の $21 + 3 = 24$ 番目の項です。

(2) 第 2008 項の数を求めるためには、まず分母がいくつになるかを考えます。

$n$ までの項数は $\frac{n(n+1)}{2}$ で表されます。$\frac{n(n+1)}{2} \le 2008$ となる最大の $n$ を求めます。

$n(n+1) \le 4016$ となる $n$ を探します。$n=62$ のとき、$62 \times 63 = 3906 < 4016$ であり、$n=63$ のとき、$63 \times 64 = 4032 > 4016$ です。

したがって、分母が 62 までの項数は $\frac{62 \times 63}{2} = 1953$ です。

第 2008 項は、分母が 63 の数列の $(2008 - 1953) = 55$ 番目です。

分母が 63 の数列の $k$ 番目の項は $\frac{2k-1}{63}$ で表されるので、第 55 項は $\frac{2 \times 55 - 1}{63} = \frac{110 - 1}{63} = \frac{109}{63}$ となります。

(3) 初項から第 1005 項までの和を求めます。

まず、分母がいくつになるかを考えます。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 1005$ となる最大の $n$ を求めます。

$n(n+1) \le 2010$ となる $n$ を探します。$n=44$ のとき、$44 \times 45 = 1980 < 2010$ であり、$n=45$ のとき、$45 \times 46 = 2070 > 2010$ です。

したがって、分母が 44 までの項数は $\frac{44 \times 45}{2} = 990$ です。

第 1005 項は、分母が 45 の数列の $(1005 - 990) = 15$ 番目です。

分母が $n$ の数列の和は、$\frac{1+3+5+...+2n-1}{n} = \frac{n^2}{n} = n$ となります。

分母が 1 から 44 までの数列の和は $1 + 2 + 3 + ... + 44 = \frac{44(44+1)}{2} = \frac{44 \times 45}{2} = 990$ です。

分母が 45 の数列の最初の 15 項の和は、$\frac{1+3+5+...+29}{45} = \frac{15^2}{45} = \frac{225}{45} = 5$ となります。

したがって、初項から第 1005 項までの和は $990 + 5 = 995$ です。

3. 最終的な答え

(1) 24

(2) $\frac{109}{63}$

(3) 995