(1) $(a_1 + a_2)(b_1 + b_2 + b_3 + b_4)(c_1 + c_2 + c_3)$ を展開したときにできる異なる項の個数を求めます。 (2) 200 の約数の個数、約数の総和、および約数の中で偶数の個数を求めます。ただし、約数はすべて正の数とします。

1. 問題の内容

(1) $(a_1 + a_2)(b_1 + b_2 + b_3 + b_4)(c_1 + c_2 + c_3)$ を展開したときにできる異なる項の個数を求めます。

(2) 200 の約数の個数、約数の総和、および約数の中で偶数の個数を求めます。ただし、約数はすべて正の数とします。

2. 解き方の手順

(1) 展開後の項の個数は、各括弧から1つずつ項を選んで掛け合わせたものの数に等しくなります。それぞれの括弧から選ぶ項の数を掛け合わせれば、項の総数が求まります。

(2)

- 200を素因数分解します。

- 約数の個数は、素因数分解の結果の各素数の指数に1を加えて掛け合わせたものになります。

- 約数の総和は、素因数分解の結果の各素数 $p_i$ の指数 $e_i$ について $(1 + p_i + p_i^2 + ... + p_i^{e_i})$ を計算し、それらを掛け合わせたものになります。

- 偶数の約数の個数は、2の指数に関する項を除いて他の項は上記と同様に計算し、最後に2の指数を考慮した偶数の項の総数となるように調整します。

3. 最終的な答え

(1) 異なる項の個数: $2 \times 4 \times 3 = 24$ 個

(2)

200 を素因数分解すると $200 = 2^3 \times 5^2$ となります。

- 約数の個数: $(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12$ 個

- 約数の総和: $(1 + 2 + 2^2 + 2^3)(1 + 5 + 5^2) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 5 + 25) = 15 \times 31 = 465$

- 偶数の約数の個数: 2 が少なくとも1つ含まれている必要があるため、$2^1, 2^2, 2^3$ のいずれかを選択します。 よって、$3 \times (2+1) = 3 \times 3 = 9$ 個

- 別の考え方として、全体の約数の個数から奇数の約数の個数を引くことで偶数の約数の個数を求めることもできます。 奇数の約数は $5^0$, $5^1$, $5^2$ のいずれかなので3個です。 よって、偶数の約数は $12 - 3 = 9$ 個です。

したがって、

- 200 の約数の個数: 12 個

- 200 の約数の総和: 465

- 200 の約数の中で偶数の個数: 9 個