$\sqrt{\frac{756}{n}}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{756}{n}}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、756を素因数分解します。

$756 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$

$\sqrt{\frac{756}{n}}$ が自然数となるためには、$\frac{756}{n}$ がある自然数の2乗である必要があります。

つまり、$\frac{756}{n} = k^2$ （$k$ は自然数）と表せます。

したがって、$n = \frac{756}{k^2}$ です。

$756 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$ より、$n = \frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 7}{k^2}$ が自然数となるためには、$k^2$ が $2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$ の約数である必要があります。

$\frac{756}{n} = k^2$ を満たす $k$ を探します。

$\frac{756}{n} = \frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 7}{n} = k^2$ より、$\frac{756}{n}$ は平方数でなければなりません。

$\frac{756}{n}$ の素因数分解において、すべての素数の指数が偶数である必要があります。

$756 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$ なので、

$\frac{756}{n}$ の素因数分解における $3$ と $7$ の指数が偶数となるように $n$ を選びます。

具体的には、$n$ は $3$ と $7$ を奇数個ずつ持つ必要があります。

$n$ として考えられるのは、

$3 \cdot 7 = 21$

$2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$

$3^3 \cdot 7 = 189$

$2^2 \cdot 3^3 \cdot 7 = 756$

これらの場合について、$\frac{756}{n}$ が平方数になるか確認します。

* $n = 21$ のとき、$\frac{756}{21} = 36 = 6^2$

* $n = 84$ のとき、$\frac{756}{84} = 9 = 3^2$

* $n = 189$ のとき、$\frac{756}{189} = 4 = 2^2$

* $n = 756$ のとき、$\frac{756}{756} = 1 = 1^2$

よって、$n$ は $21, 84, 189, 756$ です。

3. 最終的な答え

$n = 21, 84, 189, 756$