$a, b$ は自然数である。$a$ を $13$ で割ると商が $b$ で余りが $10$ である。また、$b$ を $11$ で割ると余りが $7$ である。$a$ を $11$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は自然数である。$a$ を $13$ で割ると商が $b$ で余りが $10$ である。また、$b$ を $11$ で割ると余りが $7$ である。$a$ を $11$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a$ と $b$ の関係を式で表すと、

$a = 13b + 10$

また、$b$ を $11$ で割ると余りが $7$ であるから、$b$ は整数 $k$ を用いて

$b = 11k + 7$

と表せる。

これを $a$ の式に代入すると、

$a = 13(11k + 7) + 10$

$a = 143k + 91 + 10$

$a = 143k + 101$

$a$ を $11$ で割った余りを求めたいので、$a$ を $11$ で割った式に変形する。

$a = (11 \times 13)k + (11 \times 9 + 2)$

$a = 11(13k + 9) + 2$

したがって、$a$ を $11$ で割った余りは $2$ である。

3. 最終的な答え

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