2つの直線 $y = -x + 6$ (①) と $y = 2x$ (②) がある。直線①と②の交点をA、直線①とx軸の交点をBとする。線分AB上に点Pをとり、Pを通りy軸に平行な直線と直線②、x軸との交点をそれぞれQ、Rとする。 (1) A, Bの座標を求める。 (2) Rのx座標が3のとき、三角形APQの面積を求める。 (3) 三角形APQの面積が $\frac{27}{2}$ のとき、Rのx座標を求める。 (4) 三角形APQの面積が15のとき、Rのx座標を求める。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = -x + 6$ (①) と $y = 2x$ (②) がある。直線①と②の交点をA、直線①とx軸の交点をBとする。線分AB上に点Pをとり、Pを通りy軸に平行な直線と直線②、x軸との交点をそれぞれQ、Rとする。

(1) A, Bの座標を求める。

(2) Rのx座標が3のとき、三角形APQの面積を求める。

(3) 三角形APQの面積が $\frac{27}{2}$ のとき、Rのx座標を求める。

(4) 三角形APQの面積が15のとき、Rのx座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* Aの座標は、2つの直線の交点なので、連立方程式を解く。

$-x + 6 = 2x$

$3x = 6$

$x = 2$

$y = 2(2) = 4$

よって、A(2, 4)

* Bの座標は、直線①とx軸の交点なので、y=0を代入する。

$0 = -x + 6$

$x = 6$

よって、B(6, 0)

(2)

* Rのx座標が3なので、Pのx座標も3である。

* Pは線分AB上にあるので、直線ABの式を求める。

直線の式は $y = -x + 6$ である。Pのy座標は $y = -3 + 6 = 3$

よって、P(3, 3)

* Qのx座標も3なので、Qのy座標は $y = 2(3) = 6$

よって、Q(3, 6)

* APの長さを求める。

$AP = \sqrt{(3-2)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

* PQの長さを求める。

$PQ = 6-3 = 3$

* APQの面積を求める。

APとPQは直交しているので、$\frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 3$ではない

点Aと点Pのx座標の差を底辺とすると、高さは線分RQになる

$R(3,0), Q(3,6)$ より線分RQの長さは$6$

点Pと点Aのy座標の差を底辺とすると、高さは線分PRになる

$P(3,3), R(3,0)$ より線分PRの長さは$3$

点Aから線分RQへ下ろした垂線の足をSとすると、S(3,4)である

三角形APQ = 三角形ASQ - 三角形ASP

三角形ASQ = $\frac{1}{2} \times (6-4) \times (3-2) = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$

三角形APR = $\frac{1}{2} \times (4-3) \times (3-2) = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$

三角形APQ = $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

(3)

* Rのx座標をrとする。Pのx座標もrである。

* Pは線分AB上にあるので、Pのy座標は $y = -r + 6$

よって、P(r, -r+6)

* Qのx座標もrなので、Qのy座標は $y = 2r$

よって、Q(r, 2r)

* 三角形APQの面積を計算する。

点Aから線分RQへ下ろした垂線の足をSとすると、S(r,4)である

三角形APQ = 三角形ASQ - 三角形ASP

三角形ASQ = $\frac{1}{2} \times (2r-4) \times (r-2)$

三角形ASP = $\frac{1}{2} \times (4-(-r+6)) \times (r-2)$

$= \frac{1}{2} \times (r-2) \times (r-2)$

三角形APQ = $\frac{1}{2}(2r-4)(r-2)-\frac{1}{2}(4-(-r+6))(r-2)$

$\frac{27}{2} = \frac{1}{2}(2r-4)(r-2)-\frac{1}{2}(r-2)(r-2-2)$

$27 = (2r-4)(r-2) - (r-2)(r-4)$

$27 = 2r^2-8r+8 - (r^2-6r+8)$

$27 = r^2 - 2r$

$r^2 - 2r - 27 = 0$

$r = \frac{2\pm \sqrt{4+108}}{2} = \frac{2\pm \sqrt{112}}{2} = \frac{2\pm 4\sqrt{7}}{2} = 1\pm 2\sqrt{7}$

$6 \geq r \geq 2$を満たすので、不適

計算ミス

三角形APQ = $\frac{1}{2} | (x_A - x_Q)(y_P - y_A) - (x_A - x_P)(y_Q - y_A) |$

$\frac{27}{2} = \frac{1}{2} | (2-r)(-r+6-4) - (2-r)(2r-4) |$

$27 = | (2-r)(-r+2) - (2-r)(2r-4) |$

$27 = | (2-r)(-r+2 - (2r-4)) |$

$27 = | (2-r)(-3r+6) |$

$27 = | (2-r)(-3)(r-2) |$

$27 = | -3(2-r)^2 |$

$9 = (2-r)^2$

$\pm 3 = 2-r$

$r = 2 \pm 3$

$r = 5$ または $r = -1$

$0 < r < 6$なので、r=5

(4)

* 三角形APQの面積が15のとき、Rのx座標を求める。

$\frac{27}{2}$ を 15 に置き換えて同様の計算を行う

$15 = \frac{1}{2} | (2-r)(-r+2) - (2-r)(2r-4) |$

$30 = | (2-r)(-r+2 - (2r-4)) |$

$30 = | (2-r)(-3r+6) |$

$30 = | (2-r)(-3)(r-2) |$

$30 = | -3(2-r)^2 |$

$10 = (2-r)^2$

$\pm \sqrt{10} = 2-r$

$r = 2 \pm \sqrt{10}$

$r = 2 + \sqrt{10}$ または $r = 2 - \sqrt{10}$

$2 + \sqrt{10} \approx 5.16$

$2 - \sqrt{10} \approx -1.16$

$0 < r < 6$なので、$r = 2 + \sqrt{10}$ となる

3. 最終的な答え

(1) A(2, 4), B(6, 0)

(2) 1/2

(3) 5

(4) $2 + \sqrt{10}$