問題16: $x = -3$、$y = \frac{1}{2}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $3(x+3y)-7(2x-y)$ (2) $x^2+y^2-(x-y)^2$ 問題17: 展開の公式、因数分解の公式を用いて、次の計算をせよ。 (1) $97^2$ (2) $27^2-23^2$ 問題18: 正の整数A, Bを6で割ったときの余りをそれぞれ2, 5とする。 (1) $A+3B$を6で割ったときの余りを求めよ。 (2) $AB$を6で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

問題16: $x = -3$、$y = \frac{1}{2}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $3(x+3y)-7(2x-y)$

(2) $x^2+y^2-(x-y)^2$

問題17: 展開の公式、因数分解の公式を用いて、次の計算をせよ。

(1) $97^2$

(2) $27^2-23^2$

問題18: 正の整数A, Bを6で割ったときの余りをそれぞれ2, 5とする。

(1) $A+3B$を6で割ったときの余りを求めよ。

(2) $AB$を6で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

問題16:

(1) 式に $x = -3$、$y = \frac{1}{2}$ を代入する。

$3(x+3y)-7(2x-y) = 3(-3+3(\frac{1}{2})) - 7(2(-3)-\frac{1}{2})$

$= 3(-3+\frac{3}{2}) - 7(-6-\frac{1}{2}) = 3(-\frac{3}{2}) - 7(-\frac{13}{2})$

$= -\frac{9}{2} + \frac{91}{2} = \frac{82}{2} = 41$

(2) 式を整理してから $x = -3$、$y = \frac{1}{2}$ を代入する。

$x^2+y^2-(x-y)^2 = x^2+y^2-(x^2-2xy+y^2) = x^2+y^2-x^2+2xy-y^2 = 2xy$

$2xy = 2(-3)(\frac{1}{2}) = -3$

問題17:

(1) $97^2 = (100-3)^2 = 100^2 - 2(100)(3) + 3^2 = 10000 - 600 + 9 = 9409$

(2) $27^2-23^2 = (27+23)(27-23) = (50)(4) = 200$

問題18:

(1) Aを6で割った余りが2であるから、$A = 6m + 2$ (mは整数)と表せる。

Bを6で割った余りが5であるから、$B = 6n + 5$ (nは整数)と表せる。

$A + 3B = (6m + 2) + 3(6n + 5) = 6m + 2 + 18n + 15 = 6m + 18n + 17 = 6m + 18n + 6(2) + 5 = 6(m + 3n + 2) + 5$

したがって、$A+3B$を6で割った余りは5。

(2) $A = 6m + 2$、$B = 6n + 5$

$AB = (6m + 2)(6n + 5) = 36mn + 30m + 12n + 10 = 36mn + 30m + 12n + 6 + 4 = 6(6mn + 5m + 2n + 1) + 4$

したがって、$AB$を6で割った余りは4。

3. 最終的な答え

問題16:

(1) 41

(2) -3

問題17:

(1) 9409

(2) 200

問題18:

(1) 5

(2) 4